5. 伴隨算子與特殊算子

所有空間均為 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的有限維空間。

本單元中 $V$ 是 $\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的有限維內積空間，內積對第一變數線性；所有算子都是 $V$ 的自映射。

共享證明用 $T^\dagger$ 表示 Hermitian 伴隨；本章的 $T^*$ 表示完全相同的算子，並把共享證明中的映射限制為 $V$ 的自映射。它不是矩陣只作普通轉置的代數對偶映射。

每個線性泛函 $\varphi$ 都可唯一寫成 $\varphi(v)=\langle v,w\rangle$，其中 $w$ 是一個向量。在標準正交基 $q_j$ 下，取 $w=\sum_j\overline{\varphi(q_j)}q_j$，並在基向量上驗證。這個表示依賴內積。在 $\mathbb C$ 上，對應 $w\mapsto\langle\cdot,w\rangle$ 是共軛線性的，不是與代數對偶的複線性對應。

對 $T:V\to W$，其伴隨 $T^\dagger:W\to V$ 由下式唯一定義：

$$\langle Tv,w\rangle_W=\langle v,T^\dagger w\rangle_V.$$

對每個 $w$，泛函表示證明存在性與唯一性；本約定下的共軛關係表明 $T^\dagger$ 線性。在標準正交基下其矩陣為 $A^*=\bar A^{\mathsf T}$。相比之下，C01 的代數對偶映射在對偶基下採用普通轉置，且方向為 $W^*\to V^*$。二者相關，但定義不同。

在定義恆等式中取值可得

$$(ST)^\dagger=T^\dagger S^\dagger,\quad (T^\dagger)^\dagger=T,\quad (\alpha T)^\dagger=\bar\alpha T^\dagger.$$

此外，

$$(\operatorname{im}T)^\perp=\ker T^\dagger,\qquad \operatorname{im}T^\dagger=(\ker T)^\perp.$$

第一式來自：$w$ 與每個 $Tv$ 正交當且僅當 $T^\dagger w=0$。對 $T^\dagger$ 使用第一式並取正交補，便得到有限維中的第二式。

自映射若 $T=T^\dagger$ 是自伴的；若 $T^\dagger T=TT^\dagger=I$ 是酉的（在 $\mathbb R$ 上稱正交）；若 $T^\dagger T=TT^\dagger$ 是正規的。自伴和酉映射均正規，但正規映射可以兩者都不是。

選正交歸一基底。若 $T$ 的矩陣為 $A$，則 $T^*$ 的矩陣為共軛轉置 $A^*=\overline{A}^{\mathsf T}$。此式亦證明伴隨存在且唯一：直接代入可驗證，而正交歸一座標決定它。此外 $(ST)^*=T^*S^*$ 及 $(T^*)^*=T$。酉算子保持內積與範數；有限維時保持範數亦推出酉性（由極化與單射性）。

在正交歸一列座標中，第一變數線性的慣例寫成 $\langle x,y\rangle=y^*x$，故

$$\langle Ax,y\rangle=y^*Ax=(A^*y)^*x=\langle x,A^*y\rangle.$$

若兩個候選伴隨均滿足定義，其差 $B$ 對所有 $v,w$ 滿足 $\langle v,Bw\rangle=0$；取 $v=Bw$ 即得 $Bw=0$，證明唯一性。此外，

$$\langle STv,w\rangle=\langle Tv,S^*w\rangle=\langle v,T^*S^*w\rangle,$$

所以 $(ST)^*=T^*S^*$；共軛對稱性同樣給出 $(T^*)^*=T$。

從範數恢復內積的步驟也可寫全。在本慣例下，複數域上有

$$4\langle v,w\rangle=\|v+w\|^2-\|v-w\|^2 +i\bigl(\|v+iw\|^2-\|v-iw\|^2\bigr).$$

實數域上省去虛部。保持範數的線性映射保持右邊四個範數，所以保持內積。因此對所有 $v,w$，$\langle v,T^*Tw\rangle=\langle Tv,Tw\rangle=\langle v,w\rangle$，由此 $T^*T=I$。保持範數使 $T$ 單射，有限維秩–零化度再使它可逆，故 $T^*=T^{-1}$，也有 $TT^*=I$。這裏沒有使用無限維的滿射結論。

若 $S$ 正規，則 $\|Sv\|=\|S^\dagger v\|$，因為兩個平方由 $S^\dagger S=SS^\dagger$ 決定。若 $T$ 正規，$S=T-\lambda I$ 也正規，因此

$$Tv=\lambda v\quad\Longrightarrow\quad T^\dagger v=\bar\lambda v.$$

若 $v$ 為特徵向量，由伴隨恆等式，其正交補在 $T$ 和 $T^\dagger$ 下都不變。它們在該正交補上的限制仍互為伴隨且可交換，因此仍正規。

自伴算子的特徵值為實數：由 $\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle$ 得 $\lambda\|v\|^2=\bar\lambda\|v\|^2$。酉算子保持範數，故其特徵值模為一。這些是必要的譜性質，但任意矩陣滿足它們並不足以保證自伴或酉。

證明

範數與特徵向量

由 $\|Tv\|^2=\langle T^*Tv,v\rangle$ 及 $\|T^*v\|^2=\langle TT^*v,v\rangle$ 得範數等式。$T-\lambda I$ 亦正規，故其範數等式表明 $(T-\lambda I)v=0$ 蘊含 $(T^*-\overline\lambda I)v=0$。若 $T=T^*$ 且 $Tv=\lambda v$、$v\ne0$，前述結果給出 $\lambda=\overline\lambda$。若 $Tu=\lambda u$、$Tv=\mu v$ 且 $T$ 自伴，則 $\lambda\langle u,v\rangle=\langle Tu,v\rangle=\langle u,Tv\rangle=\overline\mu\langle u,v\rangle$；不同的實特徵值迫使內積為零。

例題

正規算子未必自伴

在 $\mathbb C^2$ 上，$A=\operatorname{diag}(i,1)$ 的 $A^*=\operatorname{diag}(-i,1)$，且 $AA^*=A^*A=I$。它是酉及正規的，但並非自伴。因此正規性弱於自伴性。

選擇方法與常見錯誤

對正交歸一基底下的矩陣，計算 $A^*$ 並比較乘積；概念論證則用定義中的內積等式。複數域上單用轉置是錯誤的。非正交歸一基底下，共軛轉置一般不是伴隨的矩陣。不同特徵值的特徵向量正交，若沒有正交歸一特徵基底張成全空間，仍不足以證明正規。

練習

1. 判斷 $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ 在 $\mathbb R$ 上是否自伴、正規、正交。
2. 令 $P$ 為到 $U$ 的正交投影，證明 $P=P^*$ 及 $P^2=P$。
3. 證明酉算子的特徵值絕對值為 $1$。

完整解答

1. $A^*=A^{\mathsf T}=-A\ne A$。由 $A^{\mathsf T}A=AA^{\mathsf T}=I$ 知它正交，因此正規，但不自伴。
2. 在 $U\oplus U^\perp$ 中寫 $v=u+u_\perp$、$w=z+z_\perp$。則 $Pv=u$、$Pw=z$，且 $\langle Pv,w\rangle=\langle u,z\rangle=\langle v,Pw\rangle$。伴隨唯一，故 $P=P^*$；再次投影 $u$ 得 $P^2v=Pv$。
3. 若非零 $v$ 滿足 $Tv=\lambda v$，保持範數給出 $\|v\|=\|Tv\|=|\lambda|\|v\|$；除以正數 $\|v\|$ 即得。

連繫

譜定理刻畫具有正交歸一特徵基底的複算子：恰為正規算子。實數域上，對稱算子則有這樣的基底。