0.1 課程基礎與記號

動機

第 0 章建立往後每次計算都要使用的數學語言。公式只有在容許的輸入已經說明時才完整；聲稱一個值域時，必須驗證兩個集合互相包含；調換量詞次序，更可能把真命題變成假命題。這些並非書寫上的小事，而是決定語句意思的條件。

同樣的紀律亦適用於有限和與有限積。指標是受約束的變數，單純換名不改變結果；平移指標時，上下限和通項卻必須一起改變。本節的目標是令記號可以逐步核查：每個符號都有清楚角色，每個函數都有定義域與陪域，每項運算都尊重這些資料。

定義

集合及其描述

定義

集合、隸屬關係、子集與相等

集合是由互不重複的物件組成的整體，其中的物件叫作元素或成員。$x\in A$ 表示 $x$ 屬於 $A$，$x\notin A$ 表示不屬於。

$A\subseteq B$ 表示 $A$ 的每個元素亦是 $B$ 的元素。兩個集合相等，指它們擁有完全相同的元素。

有限集合或有規律的集合可以列舉，例如 $\{1,2,3\}$ 或 $\{0,1,2,3,\ldots\}$；亦可以用集合建構式

$$\{x\in S:P(x)\}$$

表示 $S$ 中恰好滿足性質 $P(x)$ 的元素。底集很重要：$x^2-1=0$ 在 $\mathbb R$ 有兩個解，但 $\{x\in\mathbb N:x^2-1=0\}=\{1\}$。

定義

常用數集與區間

本課程採用

$$\begin{aligned} \mathbb N&:=\{0,1,2,3,\ldots\},\\ \mathbb Z&:=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\},\\ \mathbb Z^+&:=\{1,2,3,\ldots\},\\ \mathbb Q&:=\left\{\frac pq:p,q\in\mathbb Z,\ q\ne0\right\}, \end{aligned}$$

並以 $\mathbb R$ 表示實數。因此 $\mathbb Z^+\subseteq\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R$；$:=$ 表示「定義為」。

對實數 $a\lt b$，$[a,b]$ 包含兩個端點，$(a,b)$ 不含端點，$(a,b]$ 只含右端點；$[a,\infty)=\{x\in\mathbb R:a\le x\}$。空集記為 $\varnothing$。

定義

集合運算

$A\cap B$ 是同時屬於 $A,B$ 的元素；$A\cup B$ 是屬於其中至少一個集合的元素；$A\setminus B$ 是屬於 $A$ 但不屬於 $B$ 的元素。

這些描述亦準確決定溫氏圖應塗哪一區域：交集保留重疊部分，聯集保留兩個圓內的全部點，$A\setminus B$ 只保留 $A$ 在 $B$ 外面的部分。因此集合差有方向，$A\setminus B$ 未必等於 $B\setminus A$。區間本身就是實數集合，同樣可以作這些運算；例如 $x^2>1$ 的實數解既是兩個開區間的聯集，亦是閉區間 $[-1,1]$ 的補集。

邏輯與量詞

定義

帶量詞的語句

$\forall$ 表示「對每一個」，$\exists$ 表示「至少存在一個」，$\exists!$ 表示「恰好存在一個」。$P\Rightarrow Q$ 表示 $P$ 蘊涵 $Q$；$P\Leftrightarrow Q$ 表示兩個方向的蘊涵都成立。

量詞須由左至右閱讀。在 $\forall x\in\mathbb Z,\exists y\in\mathbb Z, x+y=0$ 中，$y$ 可以依賴已給定的 $x$；在 $\exists y\in\mathbb Z,\forall x\in\mathbb Z, x+y=0$ 中，同一個 $y$ 必須適用於所有 $x$。

唯一存在包含兩個主張。要證明 $\exists!x\in S$ 滿足某性質，先要找出一個確實滿足性質的元素，再證明不可能有第二個。類似地，蘊涵只提供一個方向；只有正向和反向蘊涵都已成立，才可使用 $\Leftrightarrow$。

函數與反函數

定義

函數、定義域、陪域與值域

函數 $f:A\to B$ 把每個 $a\in A$ 恰好對應到一個 $f(a)\in B$。$A$ 是定義域，$B$ 是陪域；實際出現的輸出組成值域

$$f(A):=\{f(x)\in B:x\in A\}.$$

公式本身不能決定函數。定義域和陪域是函數聲明的一部分。改變定義域可能改變值域；固定規則和定義域時，把陪域換成另一個包含全部輸出的集合，不會改變值域，但可能改變滿射性以及反函數是否存在。

定義

單射、滿射與雙射

對 $f:A\to B$：若所有 $x_1,x_2\in A$ 都滿足 $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$，則 $f$ 是單射；若每個 $y\in B$ 都能寫成某個 $f(x)$，則 $f$ 是滿射；同時為單射和滿射時稱為雙射。

定義

反函數

設 $f:A\to B$。若 $g:B\to A$ 滿足

$$g(f(x))=x\quad(x\in A),\qquad f(g(y))=y\quad(y\in B),$$

則 $g$ 是 $f$ 的反函數。反函數一旦存在便唯一，記作 $f^{-1}$。

有限和與有限積

定義

求和與連乘記號

設 $m,n\in\mathbb Z$、$m\le n$，而 $a_m,a_{m+1},\ldots,a_n$ 為數，則

$$\sum_{i=m}^{n}a_i=a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n, \qquad \prod_{i=m}^{n}a_i=a_m a_{m+1}\cdots a_n.$$

$i$ 是啞指標，只負責標識對應項，在記號之外沒有獨立意義。

因此 $\sum_{i=m}^{n}a_i$ 與 $\sum_{k=m}^{n}a_k$ 表示同一個數。單純換名不同於指標平移：平移改變各項的標籤，必須由新上下限補償。兩個算子亦規定了不同運算：$\sum$ 把各項相加，$\prod$ 把各因子相乘。例如 $\prod_{i=1}^{n}i=n!$，而 $\sum_{i=1}^{n}i$ 是等差求和。持續辨認算子，可避免看似順暢卻運算錯誤的推導。

定理 / 命題

定理

集合相等的雙包含判據

對任意集合 $A,B$，$A=B$ 當且僅當 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。

定理

平方函數的值域

若 $f:\mathbb R\to\mathbb R$ 由 $f(x)=x^2$ 定義，則 $f(\mathbb R)=[0,\infty)$。

定理

反函數判據

函數存在反函數當且僅當它是雙射；反函數存在時是唯一的。

定理

有限和的基本法則

對常數 $C$ 及相容的有限數列，

$$\sum_{i=m}^{n}Ca_i=C\sum_{i=m}^{n}a_i, \qquad \sum_{i=m}^{n}(a_i\pm b_i)=\sum_{i=m}^{n}a_i\pm\sum_{i=m}^{n}b_i.$$

對整數平移量 $s$，

$$\sum_{i=m}^{n}a_i=\sum_{i=m+s}^{n+s}a_{i-s}.$$

有限雙重和可按任一次序展開：

$$\left(\sum_{i=m}^{n}a_i\right)\left(\sum_{j=p}^{q}b_j\right) =\sum_{i=m}^{n}\sum_{j=p}^{q}a_i b_j =\sum_{j=p}^{q}\sum_{i=m}^{n}a_i b_j.$$

證明思路或證明

對雙包含判據，若 $A=B$，每邊的元素自然都屬於另一邊。反過來，$A\subseteq B$ 與 $B\subseteq A$ 說明一個物件屬於 $A$ 當且僅當它屬於 $B$，所以兩集合元素相同。

平方函數的值域必須驗證兩個包含方向。若 $y\in f(\mathbb R)$，則某個實數 $x$ 使 $y=x^2\ge0$，故值域包含於 $[0,\infty)$。若 $y\ge0$，取 $x=\sqrt y$，便有 $f(x)=y$，得到反向包含。

若 $f$ 有反函數，相等的輸出經反函數送回相等的輸入，故 $f$ 為單射；等式 $f(g(y))=y$ 又說明每個陪域元素可達到，故為滿射。反之，雙射保證每個 $y$ 有唯一原像，定義 $g(y)$ 為該原像即可得到兩個複合恆等式，唯一性亦隨之成立。

有限和的線性法則來自逐項展開與分配律。平移指標時，新指標取 $m+s$ 才出現原首項 $a_m$，取 $n+s$ 才出現原末項 $a_n$，所以上下限和下標必須同步移動。

例題詳解

例題

1. 描述並運算集合

正偶數集合可寫成

$$E=\{2m:m\in\mathbb Z^+\} =\{n\in\mathbb Z^+:n=2m\text{，其中某個 }m\in\mathbb Z^+\}.$$

若 $A=\{1,2\}$、$B=\{2,3\}$、$C=\{3\}$，則 $A\cap B=\{2\}$、$A\cap C=\varnothing$、$A\cup B=\{1,2,3\}$、 $A\setminus B=\{1\}$、$B\setminus A=\{3\}$。此外

$$\{x\in\mathbb R:x^2>1\}=(-\infty,-1)\cup(1,\infty) =\mathbb R\setminus[-1,1].$$

例題

2. 按次序閱讀量詞

$\forall x\in\mathbb Z,\exists y\in\mathbb Z, x+y=0$ 為真，因為給定 $x$ 後可取 $y=-x$。反序語句為假：令 $x=0$ 會迫使唯一候選為 $y=0$，但再取 $x=1$，和便不是零。

例題

3. 改變定義域與分段端點

對 $f:\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=x^2$，值域是 $[0,\infty)$。若 $g:[-1,2)\to\mathbb R$ 且只對 $x\in[-1,2)$ 定義 $g(x)=x^2$，值域變為 $[0,4)$；$4$ 可趨近但不能達到。

再定義 $h:\mathbb R\to\mathbb R$。若

$$h(x)=\begin{cases}x+1,&x\ge2,\\3-x,&x\lt2,\end{cases}$$

則 $x=2$ 只符合第一分支，故 $h(2)=3$；第二式所得的 $1$ 不適用於這個端點。

例題

4. 分類三個正弦函數

$f:\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=\sin x$ 既非單射亦非滿射。 $g:\mathbb R\to[-1,1]$ 是滿射但非單射。進一步限制定義域得到 $h:[-\pi/2,\pi/2]\to[-1,1]$；它嚴格遞增並達到每個陪域值，因此是雙射。

例題

5. 指數函數與對數函數互逆

令 $f:\mathbb R\to(0,\infty)$、$f(x)=e^x$。它是雙射，且 $f^{-1}:(0,\infty)\to\mathbb R$ 為 $f^{-1}(y)=\ln y$，因為

$$\ln(e^x)=x\quad(x\in\mathbb R),\qquad e^{\ln y}=y\quad(y>0).$$

兩個等式分別核查兩個定義域上的複合，缺一不可。

例題

6. 證明三次函數為雙射並求反函數

令 $f:(0,\infty)\to(1,\infty)$、$f(x)=2x^3+1$。若 $f(x_1)=f(x_2)$，則

$$(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=0.$$

第二因子因 $x_1,x_2>0$ 而為正，所以 $x_1=x_2$，函數為單射。給定 $y>1$，取 $x=\sqrt[3]{(y-1)/2}>0$，即有 $f(x)=y$，故為滿射。因此

$$f^{-1}(y)=\sqrt[3]{\frac{y-1}{2}},\qquad y\in(1,\infty).$$

例題

7. 展開求和並作裂項相消

直接展開有 $\sum_{i=1}^{n}i^2=1^2+2^2+\cdots+n^2$ 和 $\sum_{i=0}^{10}2^i=1+2+2^2+\cdots+2^{10}$。對 $n\in\mathbb Z^+$，

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)} &=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\ &=1-\frac1{n+1}. \end{aligned}$$

中間項成對相消；全程統一使用指標 $k$。

例題

8. 分清有限積與有限和

對 $n\in\mathbb Z^+$，

$$\prod_{i=1}^{n}i=n!,\qquad \prod_{i=1}^{n}2^i=2^{1+2+\cdots+n}=2^{n(n+1)/2}.$$

各因子為正，所以

$$\sum_{i=1}^{n}\log i =\log(1\cdot2\cdots n) =\log\left(\prod_{i=1}^{n}i\right).$$

第二個恆等式由冪的連乘開始，並不是冪的求和。

常見錯誤

常見錯誤

隸屬關係不等於包含關係

$x\in A$ 連接元素與集合；$A\subseteq B$ 連接兩個集合，不能互換。

常見錯誤

集合差的右邊亦必須是集合

除去 $2$ 的實數集合是 $\mathbb R\setminus\{2\}$，不能把數字 $2$ 直接當作集合差的右運算元。

常見錯誤

不要調換量詞

$\forall x\exists y$ 容許 $y$ 依賴 $x$；$\exists y\forall x$ 要求一個固定 $y$ 適用於所有 $x$。

常見錯誤

公式、定義域、陪域與值域是不同資料

只寫 $x^2$ 尚未定義函數；陪域是聲明的目標集合，值域則只含實際達到的數值。

常見錯誤

反函數不是倒數

$f^{-1}$ 表示撤銷 $f$ 的函數，一般不等於 $1/f$。必須在正確的定義域上核查兩個複合。

常見錯誤

平移指標時同步改變所有資料

啞指標換名無妨，但平移時要同時改變上下限與下標；還要分清表示相加的 $\sum$ 和表示相乘的 $\prod$。

總結

集合由隸屬關係控制，集合相等用雙包含證明。量詞必須按次序閱讀。函數包含規則、定義域與陪域；單射保證原像至多一個，滿射保證原像至少一個，兩者合起來才有反函數。有限和與有限積必須寫明範圍並保持指標一致。這些約定令後續論證能夠逐步檢查。

練習

1. 用兩種等價的集合建構式寫出正奇數集合。
2. 設 $A=\{1,2,4\}$、$B=\{2,3,4\}$，求 $A\cap B$、$A\cup B$、$A\setminus B$ 與 $B\setminus A$。
3. 判斷 $\forall x\in\mathbb Z,\exists y\in\mathbb Z, y>x$ 和 $\exists y\in\mathbb Z,\forall x\in\mathbb Z, y>x$ 哪個為真。
4. 求 $g:[-2,1)\to\mathbb R$、$g(x)=x^2$ 的值域。
5. 判斷 $f:\mathbb R\to[0,\infty)$、$f(x)=x^2$ 是單射、滿射、雙射還是兩者皆非。
6. 證明 $f:\mathbb R\to\mathbb R$、$f(x)=3x-5$ 為雙射，並求 $f^{-1}$。
7. 把 $\sum_{i=2}^{n}a_i$ 平移成下限為 $5$ 的求和式。
8. 計算 $\sum_{k=1}^{n}\frac1{(k+1)(k+2)}$，並化簡 $\prod_{i=1}^{n}3^i$。

答案與解答

解答 · 解答 1

正奇數集合是 $\{2m-1:m\in\mathbb Z^+\}$，亦可寫成 $\{n\in\mathbb Z^+:n=2m-1\text{，其中某個 }m\in\mathbb Z^+\}$。

解答 · 解答 2

$A\cap B=\{2,4\}$、$A\cup B=\{1,2,3,4\}$、 $A\setminus B=\{1\}$、$B\setminus A=\{3\}$。

解答 · 解答 3

第一句為真：給定 $x$ 後取 $y=x+1$。第二句為假：對任何候選 $y$，取 $x=y+1$ 即得到反例。

解答 · 解答 4

最小值 $0$ 在 $x=0$ 達到；最大值 $4$ 在已包含的端點 $x=-2$ 達到，故值域為 $[0,4]$。

解答 · 解答 5

每個 $y\ge0$ 都等於 $(\sqrt y)^2$，故函數為滿射；但 $f(1)=f(-1)$，故不是單射。

解答 · 解答 6

$3x_1-5=3x_2-5$ 推出 $x_1=x_2$，所以為單射。給定實數 $y$，取 $x=(y+5)/3$ 即有 $f(x)=y$，所以為滿射；$f^{-1}(y)=(y+5)/3$。

解答 · 解答 7

取平移量 $s=3$，則

$$\sum_{i=2}^{n}a_i=\sum_{j=5}^{n+3}a_{j-3}.$$

首項仍是 $a_2$，末項仍是 $a_n$。

解答 · 解答 8

因為 $\frac1{(k+1)(k+2)}=\frac1{k+1}-\frac1{k+2}$，

$$\sum_{k=1}^{n}\frac1{(k+1)(k+2)}=\frac12-\frac1{n+2}.$$

另外，$\prod_{i=1}^{n}3^i=3^{1+2+\cdots+n}=3^{n(n+1)/2}$。