MATH1025
預備數學
建立大學數學常用的代數與幾何工具：證明與不等式、複數、數列、多項式、向量及圓錐曲線。從嚴謹的代數推理開始，學習選擇方法並說明理由。
你的進度
0/ 21 節已標記完成
下一節: 0.1 課程基礎與記號
完成記錄儲存在此瀏覽器中。
這門課在網上
MATH1025 筆記裏的內容
- 定理卡
- 89
- 定義
- 56
- 反例
- 10
- 概念視角
- 15
- 思想史
- 3
- 證明透視
- 1
數字只算這門課 21 節公開筆記裏寫了甚麼，不是網上已記錄的關係。目前其中 0 節已細緻地記錄到網上。
在網上定理卡 89 · 定義 56 · 反例 10 · 概念視角 15 · 思想史 3 · 證明透視 1
第 0-1 章 · 2 節
基礎與早期方法
課程基礎符號語言與全課共用的核心變形技巧。
- 0.1
課程基礎與記號
建立符號、證明習慣與代數先備，為後續三角、數列與向量章節打底。
- 1.1
方程結構與三角恆等式
以帶證明意識的代數變形鞏固方程結構與三角恆等式。
第 2-3 章 · 2 節
證明與不等式
歸納法、次序推理、有理不等式、絕對值，以及初步經典不等式。
第 4 章 · 1 節
二項式定理
階乘、排列、組合、Pascal 恒等式，以及從二項式展開抽取係數。
- 4.1
二項式係數與展開
連接排列、組合、Pascal 恒等式與二項式定理。
第 5 章 · 1 節
數列
數列作為函數、遞推構造、等差與等比數列、有限和，以及初步應用遞推。
- 5.1
數列、遞推與級數
把數列讀成定義在正整數上的函數，比較顯式與遞推定義，並推導等差與等比求和公式。
第 6 章 · 1 節
複數
複數運算、共軛、模、極形式與指數形式、單位根，以及複平面幾何。
- 6.1
複數、極形式與幾何
由有序對構造複數，使用共軛與極形式，並連接旋轉、單位根與複平面幾何。
第 7 章 · 2 節
整數方法
整除、質數、最大公因數計算、Bézout 恆等式與整數線性方程。
- 7.1
整除、最大公因數與整數方程
建立整除、質數、除法算法、歐幾里得算法、Bézout 恆等式、質因數分解，以及初步一次 Diophantine 方程。
- 7.2
有理數與無理數
用有理數的封閉性、n 次根記號與 Euclid 引理，證明標準無理性結果。
第 8 章 · 3 節
多項式方法
多項式運算、帶餘除法、多項式最大公因式、不可約性、有理函數、部分分式與 Vieta 公式。
- 8.1
多項式運算與除法
把多項式定義為有限形式和，控制次數，證明帶餘除法，並使用餘式定理與因式定理。
- 8.2
多項式最大公因式與不可約性
使用多項式 Euclidean algorithm、Bézout 恆等式、不可約性與依係數域而變的因式分解。
- 8.3
有理函數、部分分式與 Vieta 公式
分解有理函數，在有限和中使用部分分式，並用 Vieta 公式連繫根與係數。
第 9 章 · 2 節
向量與幾何
向量、範數、內積、投影、叉積，以及面積與體積的幾何。
- 9.1
向量、範數、內積與投影
透過範數、內積、正交投影，以及 Cauchy–Schwarz 不等式和三角不等式，連繫座標與幾何。
- 9.2
叉積、純量三重積與向量幾何
建立三維叉積，以純量三重積解釋有向體積，並解決向量幾何問題。
第 10 章 · 2 節
直線、平面與曲線
直線與平面、距離與投影，以及參數曲線的速度向量和速率。
- 10.1
直線、平面、投影與距離
用方向向量與法向量描述直線和平面，再推導交點、夾角、投影與距離。
- 10.2
參數曲線與向量值函數
區分參數曲線與其軌跡，對向量值函數求導，並解釋方向、速度向量與速率。
第 11 章 · 5 節
圓錐曲線
焦點定義、切線與反射、選讀的座標分類，以及精確的圓錐曲線軌跡與參數應用。
- 11.1
拋物線：焦點、準線、切線與法線
由焦點與準線推導拋物線，再研究切線、法線、反射與參數軌跡。
- 11.2
橢圓：焦點、反射與切線幾何
連繫橢圓的焦點—準線與距離和定義，並證明切線、反射及軌跡性質。
- 11.3
雙曲線：焦點、漸近線與切線幾何
由到焦點的距離條件建立雙曲線的兩支，並分析漸近線、切線、反射與垂足軌跡。
- 11.4
一般圓錐曲線、座標旋轉與分類
研習選讀的座標旋轉方法、二次型分類、退化圓錐曲線與正則點的切線方程。
- 11.5
圓錐曲線軌跡與參數應用
用弦與切線參數求出精確軌跡，再連繫滾圓運動、速率與有理參數表示。