4. 三角函數與反函數分支

學習目標與幾何定義

用弧度量度角，從旋轉推導加法公式，解週期方程，並區分三角函數的倒數與反函數。弧度角等於弧長除以半徑。在單位圓上，有向角 $\theta$ 對應的點坐標為 $(\cos\theta,\sin\theta)$，因此 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$。

正弦和餘弦的週期為 $2\pi$。在 $\cos\theta\ne0$ 處定義 $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$；正切的週期為 $\pi$。由反射可知，負角滿足 $\cos(-\theta)=\cos\theta$ 和 $\sin(-\theta)=-\sin\theta$。記號 $\sin^{-1}x$ 通常表示反正弦，而不是 $1/\sin x$；可用 $\arcsin$ 和 $\csc$ 避免歧義。

定理：加法公式

對所有實數 $a,b$，

$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b,\qquad \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.$$

證明

我們採用旋轉的幾何事實：繞原點的旋轉保持距離與平面定向（順、逆時針次序），並且對坐標分量是線性的。令 $R_\alpha$ 表示逆時針旋轉 $\alpha$。由單位圓，兩個坐標基向量分別旋轉為

$$R_\alpha e_1=(\cos\alpha,\sin\alpha)^T,\qquad R_\alpha e_2=(-\sin\alpha,\cos\alpha)^T.$$

由線性性，它對角為 $\beta$ 的點的作用為

$$R_\alpha(\cos\beta,\sin\beta)^T =(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,\ \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)^T.$$

從幾何上看，連續旋轉的角度相加，所以同一點也是 $(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))^T$。比較坐標即證明兩個恆等式，而無須預先使用它們。令 $\beta=\alpha=\theta$，得到 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ 和 $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$。恆等式對定義域內每個輸入成立；方程詢問哪些輸入使特定等式成立。

反函數與方程求解

將正弦限制在 $[-\pi/2,\pi/2]$，它在該區間遞增並映滿 $[-1,1]$；其反函數為 $\arcsin$。分別將餘弦限制在 $[0,\pi]$、正切限制在 $(-\pi/2,\pi/2)$，定義 $\arccos$ 和 $\arctan$。因此在選定分支之外，$\arcsin(\sin\theta)$ 不一定等於 $\theta$；相反，對每個 $x\in[-1,1]$，$\sin(\arcsin x)=x$。

若 $\sin\theta=c$、$|c|\le1$ 且 $\alpha=\arcsin c$，全部解為 $\theta=\alpha+2k\pi$ 或 $\theta=\pi-\alpha+2k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$。恆等式在兩邊都有定義的地方成立；方程只在特定值處成立。平方或乘以可能為零的三角因子都可能改變解集。

證明：反函數分支與全部週期解

我們使用正弦、餘弦的單位圓幾何定義及已經證明的加法公式。基本幾何約定為：沿單位圓逆時針走一周的角度為 $2\pi$；每個點的角度模 $2\pi$ 唯一，而指定半圓上的每個點都有位於所述半周區間的對應角度。坐標正負按通常的象限規則確定。這些是幾何先修事實，不是導數公式。

嚴格單調性。 將加法公式相減，得到

$$\sin y-\sin x=2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2},\qquad \cos x-\cos y=2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2}.$$

若 $-\pi/2\le x<y\le\pi/2$，第一式中的餘弦因子和正弦因子均為正，所以正弦在該區間嚴格遞增。若 $0\le x<y\le\pi$，第二式中的兩個正弦因子均為正，所以餘弦嚴格遞減。若 $-\pi/2<x<y<\pi/2$，則

$$\tan y-\tan x=\frac{\sin(y-x)}{\cos x\cos y}>0,$$

因為 $0<y-x<\pi$ 且兩個餘弦均為正。因此正切在該開區間嚴格遞增。正弦、餘弦的論證包括有限端點，而且沒有除以可能為零的因子。

滿射性與精確值域。 對任意 $c\in[-1,1]$，單位圓點 $(\sqrt{1-c^2},c)$ 位於右半圓，所以有角度落在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 且正弦為 $c$。點 $(c,\sqrt{1-c^2})$ 位於上半圓，所以有角度落在 $[0,\pi]$ 且餘弦為 $c$。由於點位於單位圓，正弦、餘弦的值都不可能超出 $[-1,1]$。對任意實數 $t$，點 $(1,t)/\sqrt{1+t^2}$ 位於去掉兩端點的右半圓，其角度 $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ 滿足 $\tan\theta=t$。因此三個限制函數分別雙射到 $[-1,1]$、$[-1,1]$ 和 $\mathbb R$；其反函數正是具有這些定義域和分支值域的 $\arcsin$、$\arccos$ 與 $\arctan$。

全部解，而非只有主值。 若 $|c|\le1$ 且 $\alpha=\arcsin c$，縱坐標為 $c$ 的圓上點，其橫坐標只能是 $\sqrt{1-c^2}$ 或 $-\sqrt{1-c^2}$。它們對應角度 $\alpha$ 和 $\pi-\alpha$。由角度模一整周的唯一性，全部解恰為 $\theta=\alpha+2k\pi$ 或 $\theta=\pi-\alpha+2k\pi$，其中 $k\in\mathbb Z$。當 $c=\pm1$ 時，兩族解重合，不會增加額外解；當 $|c|>1$ 時無解。同理，設 $\beta=\arccos c$，則 $\cos\theta=c$ 的全部解為 $\theta=\pm\beta+2k\pi$。對實數 $t$，設 $\gamma=\arctan t$，斜率為 $t$ 的圓上點是對徑點 $\pm(1,t)/\sqrt{1+t^2}$，所以 $\tan\theta=t$ 的全部解為 $\theta=\gamma+k\pi$；正切的極點始終不允許取入。這在不使用微積分的情況下證明了分支限制與各週期解族的完整性。

例題

可能丟失分支的方程。 在 $[0,2\pi)$ 上解 $\sin(2x)=\sin x$。分解得 $\sin x(2\cos x-1)=0$。第一個因子給 $x=0,\pi$，第二個給 $x=\pi/3,5\pi/3$。若除以 $\sin x$，便會丟失前兩個解。

振幅與相位。 將 $3\sin x+4\cos x$ 寫成 $5\sin(x+\phi)$，其中 $\cos\phi=3/5$、$\sin\phi=4/5$ 且 $0<\phi<\pi/2$。加法公式驗證該表達式。它的值域為 $[-5,5]$；這是精確界，而不是分別估計兩項所得的 $[-7,7]$。

分層練習

1. 基礎。 將 $150^\circ$ 轉成弧度，並求其正弦和餘弦。
2. 核心。 求 $\arcsin(\sin(5\pi/6))$ 和 $\arccos(\cos(5\pi/3))$。
3. 核心。 在 $[0,2\pi)$ 上解 $2\cos^2 x-3\cos x+1=0$。
4. 證明；需要積分的選讀拓展。 推導 $\sin^2x=(1-\cos2x)/2$，並用它證明 $\sin^2x$ 在一個週期上的平均值為 $1/2$。恆等式只需本章知識；平均值計算需要初等定積分，並非預備微積分核心內容的先修要求。

詳解

1. 角度乘以 $\pi/180$，得到 $5\pi/6$。由於位於第二象限，正弦為 $1/2$，餘弦為 $-\sqrt3/2$。
2. 第一個是 $\pi/6$，即反正弦分支中正弦為 $1/2$ 的唯一角；第二個是 $\pi/3$，即 $[0,\pi]$ 中餘弦為 $1/2$ 的唯一角。
3. 分解得 $(2\cos x-1)(\cos x-1)=0$。所以 $\cos x=1/2$ 或 $1$，得到 $x=\pi/3,5\pi/3,0$；端點 $2\pi$ 不包含在內。
4. 餘弦倍角公式為 $\cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x$，整理得到恆等式。進而 $(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=(2\pi)^{-1}[x/2-\sin(2x)/4]_0^{2\pi}=1/2$。

總結與術語

週期性表示輸入作固定平移後取值重複。主值分支是使三角函數可逆的限制區間。振幅是正弦型振蕩的非負大小，相位使角度平移。弧度使後續導數公式更自然。變形正切或倒數之前先檢查定義域，並列出指定區間中的所有解。