行列式与特征值模型

行列式将方阵压缩为带符号的体积缩放因子；特征值则描述变换的方向或模式。二者都不能代替行化简，但可揭示重复运算可能掩盖的结构。

从较小矩阵构造行列式

定义

子矩阵、子式与余因子

设 $A=[a_{ij}]$ 是一个 $n\times n$ 矩阵，其中 $n\ge2$。给定 $1\le i,j\le n$，同时删去第 $i$ 行与第 $j$ 列，所得的 $(n-1)\times(n-1)$ 矩阵记为子矩阵 $A(i\mid j)$。

属于项 $a_{ij}$ 的子式是标量

$$M_{ij}=\det\bigl(A(i\mid j)\bigr)$$

属于项 $a_{ij}$ 的余因子是带符号标量

$$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

符号形成左上角为正的棋盘：

$$\begin{bmatrix} +&-&+&\cdots\\ -&+&-&\cdots\\ +&-&+&\cdots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{bmatrix}$$

$A(i\mid j)$ 表示一个矩阵，$M_{ij}$ 是该矩阵的行列式， $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 则是加上符号后的标量。明确区分这三个对象， 就不会把符号错误地乘两次。

定义

行列式的递归定义

对于 $1\times1$ 矩阵 $[a_{11}]$，定义

$$\det([a_{11}])=a_{11}$$

对于 $n>1$ 的 $n\times n$ 矩阵，沿第一行定义

$$\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{1j}C_{1j} =\sum_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}M_{1j}$$

这是定义，还不是关于其他行或列的定理。每个子式的阶数都是 $n-1$， 所以反复使用定义最终会到达 $1\times1$ 基本情形。不需要约定 $0\times0$ 行列式：子矩阵和子式的定义只用于 $n\ge2$。

从递归行列式证明任意余因子展开

设 $A$ 为实 $n\times n$ 矩阵，$n\ge1$，行列式由一阶基例和第一行递归定义。令 $S_n$ 为 $1,\ldots,n$ 的排列集合；定义逆序数 $\operatorname{inv}(\sigma)$ 为满足 $r<s$ 且 $\sigma(r)>\sigma(s)$ 的数对个数，并令 $\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)}$。

若 $\sigma(i)=j$，删去位置 $i$ 与值 $j$，保持其余位置及值的相对次序，得到排列 $\tau\in S_{n-1}$。设位置 $i$ 之前有 $u$ 个值小于 $j$；被删去的逆序共有 $(i-1-u)+(j-1-u)=i+j-2-2u$ 个，故

$$\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^{i+j}\operatorname{sgn}(\tau).$$

定义 $P_n(A)=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{r=1}^n a_{r,\sigma(r)}$。$n=1$ 时它就是递归行列式。$n>1$ 时，按 $\sigma(1)=j$ 分组并用符号恒等式，得 $P_n(A)=\sum_j(-1)^{1+j}a_{1j}P_{n-1}(A(1\mid j))$。归纳法因而证明 $P_n(A)=\det A$。

现在固定任意行 $i$，将同一有限排列和按 $\sigma(i)=j$ 分组。删除操作与对应子矩阵的全部排列一一对应，因此

$$\det A=\sum_{j=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A(i\mid j)).$$

固定任意列 $j$ 时，每个排列恰有一个位置 $i$ 满足 $\sigma(i)=j$；按该位置分组即得

$$\det A=\sum_{i=1}^n(-1)^{i+j}a_{ij}\det(A(i\mid j)).$$

两个展开公式均用于 $n\ge2$，没有引入空行列式约定。此证明不预设换行交错规则或行列式乘积定理。

结构规则为何成立

零行、零列与唯一支撑项

定理

有零行或零列时行列式为零

如果方阵的一整行或一整列的每个项都是零，则它的行列式为零。

定理

某行或某列至多有一个非零项

设 $C$ 是 $n\ge2$ 阶方阵。若第 $k$ 行除 $c_{k\ell}$ 外都为零，则

$$\det(C)=c_{k\ell}(-1)^{k+\ell}\det\bigl(C(k\mid\ell)\bigr)$$

若第 $\ell$ 列除 $c_{k\ell}$ 外都为零，也有同一公式。即使 $c_{k\ell}=0$，这个表述仍然成立。

当 $n=1$ 时，含有零行的矩阵就是 $[0]$，按基本定义其行列式为零。当 $n\ge2$ 时，使用任意行展开定理沿该行展开。每一项都含有一个零项作为 因子，所以每一项都为零，因而 $\det(A)=0$。

零列可以用归纳法直接证明，这样能看清零列如何传递。$n=1$ 时，唯一 具有零列的 $1\times1$ 矩阵是 $[0]$，其行列式为零。假设结论对 $n=k$ 成立。设 $(k+1)\times(k+1)$ 矩阵 $C$ 的第 $\ell$ 列全为零， 沿第一行展开。第 $\ell$ 项的因子已经是零。对其余每一项，删去第一 行和某个 $j\ne\ell$ 的列；原来的零列仍在所得 $k\times k$ 子矩阵中， 只是在 $j\lt\ell$ 时列指标向左移动。由归纳假设，每个这样的子矩阵的行列式 都是零，所以整行展开的每一项都为零，得到 $\det(C)=0$。

若某行除一个项外全为零，沿该行展开即可；若某列除一个项外全为零， 沿第 $k$ 行展开。$\ell$ 项保留下来，而对每个 $j\ne\ell$，子矩阵 $C(k\mid j)$ 都继承了原第 $\ell$ 列的零列，因此其行列式为零。最后只 剩下 $c_{k\ell}(-1)^{k+\ell}\det(C(k\mid\ell))$。这正是稀疏行或 列能把计算缩成一个子式的原因。

三角矩阵

定理

三角矩阵定理

若 $T$ 是上三角或下三角矩阵，则

$$\det(T)=t_{11}t_{22}\cdots t_{nn}$$

用 $n$ 作归纳证明上三角情形。$n=1$ 时结论就是行列式的定义。假设 结论对上三角 $k\times k$ 矩阵成立，令 $T$ 为 $k+1$ 阶上三角矩阵。最 后一行除最后一项 $t_{k+1,k+1}$ 外都是零。沿最后一行展开，只有这一项 保留，而且符号 $(-1)^{2k+2}=1$：

$$\det(T)=t_{k+1,k+1}\det\bigl(T(k+1\mid k+1)\bigr)$$

保留下来的子矩阵仍是上三角矩阵，对角线为 $t_{11},\ldots,t_{kk}$。由归纳假设，它的行列式是 $t_{11}\cdots t_{kk}$，于是得到完整的对角线乘积。下三角情形类似但可 沿第一行展开：第一行只可能留下 $t_{11}$，删去第一行第一列后的子矩阵 仍是下三角矩阵，对角线从 $t_{22}$ 到 $t_{nn}$。

固定一行时的多重线性

定理

固定一行时的多重线性

固定除第 $p$ 行外的每一行。若新第 $p$ 行是 $\alpha u+\beta v$，则

$$\det(\text{相同其他各行,但第 }p\text{ 行为 }\alpha u+\beta v) =\alpha\det(\text{相同其他各行,但第 }p\text{ 行为 }u) +\beta\det(\text{相同其他各行,但第 }p\text{ 行为 }v)$$

当 $n=1$ 时，基本定义直接给出

$$\det([\alpha a+\beta b])=\alpha a+\beta b =\alpha\det([a])+\beta\det([b])$$

这就证明了 $1\times1$ 情形。

当 $n\ge2$ 时，固定除第 $p$ 行外的每一行。设矩阵 $A,B,C$ 在这些固定行上完全相同， 而第 $p$ 行满足 $c_p=\alpha a_p+\beta b_p$。对每个列指标 $j$，删 去第 $p$ 行后得到相同的矩阵：

$$A(p\mid j)=B(p\mid j)=C(p\mid j)$$

沿第 $p$ 行展开 $\det(C)$，再用每个项的关系 $c_{pj}=\alpha a_{pj}+\beta b_{pj}$ 和分配律，得到

$$\begin{aligned} \det(C) &=\sum_{j=1}^{n}(\alpha a_{pj}+\beta b_{pj})(-1)^{p+j}\det(C(p\mid j))\\ &=\alpha\det(A)+\beta\det(B) \end{aligned}$$

关键正是其他每一行都固定；同时改变两行是另一条命题。

相邻换行与相同行

定理

若有两行相同，行列式必为零

若一个方阵有两行完全相同，则它的行列式等于 $0$。

设 $A$ 的相邻两行是 $r_q,r_{q+1}$，交换这两行得到 $B$。沿 $A$ 的第 $q$ 行展开，沿 $B$ 中已经移动到第 $q+1$ 行的同一行 $r_q$ 展开。对每个列指标 $j$，两次删去该行后留下的子矩阵次序相同， 但符号相反，因为

$$(-1)^{q+1+j}=-(-1)^{q+j}$$

逐项比较便得 $\det(B)=-\det(A)$。位置 $p\lt q$ 的两行交换可以由 $2(q-p)-1$ 次相邻交换组成，这是奇数次，所以同样会使行列式变号。

若 $A$ 的第 $p$ 行与第 $q$ 行相同，交换它们后矩阵仍是 $A$ 本身。换行 结论于是给出 $\det(A)=-\det(A)$。由于这里的项是实数， $2\det(A)=0$，所以 $\det(A)=0$。这个证明没有调用下一节才会出现的行 替换规则。

指标与计算策略

每一项都要同时保留三个对象：所选项、删去一行一列后得到的子矩阵，以及取该子矩阵行列式所得的子式。先按原矩阵中的行列位置写出棋盘符号，再计算子式。若继续展开子式，应使用子式自己的局部指标；局部指标不会取代外层余因子的符号。

任意行、任意列展开定理使展开线可以有策略地选择。优先选择零多或剩余子式较简单的行或列，并在计算前说明理由。零项会立即删去分支；零子式则必须由它自己的计算证明。第一行递归式定义行列式，任意行列展开则是允许这种计算选择的定理。

行列式乘积来自有限多线性展开

设 $A,B$ 是 $n\ge1$ 阶实方阵，使用已经证明的行列式置换公式、对行的多线性、重复行使行列式为零，以及交换两行改变符号。$AB$ 的第 $i$ 行为 $\sum_{k=1}^na_{ik}B_k$，其中 $B_k$ 为 $B$ 的第 $k$ 行。展开有限多线性式得

$$\det(AB)=\sum_{k_1,\ldots,k_n=1}^n\left(\prod_{i=1}^na_{i k_i}\right)\det(B_{k_1},\ldots,B_{k_n}).$$

有重复指标的元组行列式为零。其余每个元组都是 $1,\ldots,n$ 的一个置换 $\sigma$。反复交换相邻逆序元素，将列表排序；列表若不递增，必存在这种相邻元素。每次交换只去掉二者之间的逆序，其他每个元素与这两个元素的比较总贡献不变，所以恰需 $\operatorname{inv}(\sigma)$ 次交换。行交换规则给出 $\det(B_{\sigma(1)},\ldots,B_{\sigma(n)})=(-1)^{\operatorname{inv}(\sigma)}\det B$。代回有限和，再使用已证的 $A$ 的置换公式，得到 $\det(AB)=(\det A)(\det B)$。没有使用可逆性假设或无穷展开。

伴随恒等式与求逆的连续性

当 $n\ge2$，令 $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(A(i\mid j))$，并定义 $\operatorname{adj}(A)_{ji}=C_{ij}$。$A\operatorname{adj}(A)$ 的 $(i,j)$ 元素为 $\sum_k a_{ik}C_{jk}$。若 $i=j$，行展开使它等于 $\det A$；若 $i\ne j$，它是将第 $j$ 行换成第 $i$ 行后所得矩阵的第 $j$ 行展开：该行的余因子不变，而重复行使行列式为零。因此 $A\operatorname{adj}(A)=(\det A)I$。

排列公式还给出 $\det(A^T)=\det A$：将排列换成其逆排列即可。两者的逆序数相同，因为逆序 $(r,s)$ 与逆排列的逆序 $(\sigma(s),\sigma(r))$ 一一对应，元素乘积在重新编号后也相同。对子矩阵同样适用，故 $\operatorname{adj}(A^T)=(\operatorname{adj} A)^T$。对 $A^T$ 使用第一个恒等式再转置，得到 $\operatorname{adj}(A)A=(\det A)I$。当 $n=1$，定义 $\operatorname{adj}([a])=[1]$，两个恒等式立即成立。

伴随恒等式建立后的非奇异性

已经证明的代数余子式展开与重复行规则给出 $A\operatorname{adj}A=\operatorname{adj}A\,A=(\det A)I$，当 $n=1$ 时约定 $\operatorname{adj}[a]=[1]$。若 $\det A\ne0$，相除即得双侧逆。反之，若 $A$ 可逆，则乘积公式给出 $1=\det I=\det A\det(A^{-1})$，所以 $\det A\ne0$。这里的伴随恒等式有明确选入的先行证明，并非假设每个矩阵均可逆。

1 行列式及其后果

对 $A=(a_{ij})\in\mathbb R^{n\times n}$，定义

$$\det A=\sum_{\sigma\in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}.$$

这里 $S_n$ 是排列集合，符号依奇偶性为 $+1$ 或 $-1$。该公式使行列式对每一行分别线性、交换两行时变号，且 $\det I=1$，因此两行相同则行列式为零。将一行的倍数加到另一行不改变行列式；缩放一行会缩放它；交换两行使其变号。三角矩阵的行列式等于对角元素之积。

可逆判据。 $A$ 可逆当且仅当 $\det A\ne0$。

证明。 行化简只通过非零缩放因子或符号改变行列式。若有 $n$ 个主元，可化为行列式为 1 的 $I$，可逆操作也构造出逆。否则阶梯形有零行，行列式为零，齐次方程组有自由变量，$A$ 非单射，故不可逆。$\square$

乘积法则 $\det(AB)=\det A\det B$ 可将 $AB$ 的行列式看作 $A$ 的行的交错多线性函数：它在 $I$ 处的值为 $\det B$，故在标准基行中展开给出 $\det B$ 乘以 $\det A$。特别地，相似保持行列式。

$\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ 的行列式为 3。这表示面积缩放 3 倍，不表示每个方向的长度都缩放 3 倍。

2 特征值与独立模式

特征向量 $v\ne0$ 满足 $Av=\lambda v$。特征多项式为 $p_A(t)=\det(tI-A)$；它在所选标量域上的根是特征值。特征空间为 $\ker(A-\lambda I)$。

在所选标量域上记 $E_A(\lambda)=\ker(A-\lambda I)$。

定理

互异特征值所对应的特征向量必线性无关

若 $v_1,\dots,v_k$ 是 $A$ 的特征向量，而它们分别对应于互不相同的 特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_k$，则

$$v_1,\dots,v_k$$

必定线性无关

证明

不预设独立性的归纳证明

设 $\lambda_1,\dots,\lambda_s$ 两两不同，且 $w_j\in E_A(\lambda_j)$。我们用 $s$ 归纳 证明：若 $\sum_{j=1}^s w_j=0$，则每个 $w_j=0$，允许其中某些 $w_j$ 本来就是零向量。 $s=1$ 时结论显然。归纳步骤中，对关系式应用 $A-\lambda_s I$，最后一项消失，得到

$$\sum_{j=1}^{s-1}(\lambda_j-\lambda_s)w_j=0$$

每个数乘后的向量仍在自己的特征空间中。归纳假设使所有 $(\lambda_j-\lambda_s)w_j$ 为零；互异性使这些标量非零，所以 $j<s$ 时 $w_j=0$， 再由原关系得到 $w_s=0$。把按特征值分组的任意关系应用这个结论，再利用每个特征空间 内部基的独立性，就得到所有系数都为零；因此各特征空间的基的并集线性无关

存在特征基时矩阵可对角化：$A=PDP^{-1}$，于是 $A^k=PD^kP^{-1}$。$n$ 个不同特征值保证可对角化，但重复特征值不能单独决定结果。单位矩阵重复特征值为 1 且可对角化；$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 的特征空间只有一维，因此不可对角化。

3 转移模型例题

考虑列随机矩阵

$$A=\begin{pmatrix}0.8&0.3\\0.2&0.7\end{pmatrix}.$$

它将两个类别的概率向量映到下一期。各列之和为 1，所以总质量保持不变。其特征多项式为 $(t-1)(t-0.5)$。可选特征向量 $v=(3,2)$ 对应特征值 1，$w=(1,-1)$ 对应 0.5。由 $(1,0)$ 出发，

$$\binom10=\frac15v+\frac25w,\qquad A^k\binom10=\binom{3/5}{2/5}+\frac25(1/2)^k\binom1{-1}.$$

分布趋于 $(3/5,2/5)$。这一结论依赖第二个特征值的衰减。矩阵 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 也保持概率，但从 $(1,0)$ 出发永远交替，因为其第二特征值为 $-1$。

4 分层练习

E1 基础。 求 $\begin{pmatrix}1&2&0\\0&3&1\\0&0&4\end{pmatrix}$ 的行列式。交换第一行和第三行后会怎样？

E2 模式。 对角化 $B=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}$，并求非负整数 $k$ 的 $B^k$。

E3 反例。 证明 $J=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ 不可对角化，并计算 $J^k$。

E4 推理。 解释实平面旋转 $90$ 度为什么没有实特征向量，尽管行列式为 1。

5 详解

S1. 由三角形形式得 $1\cdot3\cdot4=12$。交换一次行得到行列式 $-12$。

S2. 对 2 选 $(1,0)$，对 3 选 $(1,1)$。于是 $P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$、$D=\operatorname{diag}(2,3)$。相乘得 $B^k=\begin{pmatrix}2^k&3^k-2^k\\0&3^k\end{pmatrix}$。当 $k=0$，结果为要求的 $I$。

S3. 唯一特征值是 2，其特征空间的向量为 $(x,0)$，所以不存在特征基。写 $J=2I+N$、$N^2=0$。二项式公式对 $k\ge1$ 给出 $J^k=2^kI+k2^{k-1}N$，且 $J^0=I$。假装矩阵可对角化会遗漏额外因子 $k$。

S4. 非零实特征向量必须留在原直线上，但直角旋转将它送到垂直直线。代数上 $t^2+1$ 没有实根。行列式非零保证可逆，不保证实对角化。

总结

行列式检测奇异性和带符号的体积缩放。特征值描述不变模式和幂的行为。始终写明标量域，特征值重复时检查特征向量维数；单靠行列式不能给出特征基。