矩阵有两个角色：它是可进行算术运算的数据数组；选择基后，它也表示线性变换。理解后者有助解释乘法公式为何如此、秩为何衡量信息，以及坐标改变为何不改变变换本身。
1 表示复合的算术
对 A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} A ∈ R m × n B ∈ R n × p B\in\mathbb R^{n\times p} B ∈ R n × p ( A B ) i j = ∑ k = 1 n a i k b k j (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj} ( A B ) ij = ∑ k = 1 n a ik b kj ( A B ) x = A ( B x ) (AB)x=A(Bx) ( A B ) x = A ( B x ) I n I_n I n A T A^T A T ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T ( A B ) T = B T A T
例如，A = ( 1 1 0 1 ) A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} A = ( 1 0 1 1 ) B = ( 2 0 0 1 ) B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix} B = ( 2 0 0 1 ) A B = ( 2 1 0 1 ) AB=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix} A B = ( 2 0 1 1 ) B A = ( 2 2 0 1 ) BA=\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix} B A = ( 2 0 2 1 )
高斯消元对 [ A ∣ b ] [A\mid b] [ A ∣ b ] [ 0 ⋯ 0 ∣ c ] [0\cdots0\mid c] [ 0 ⋯ 0 ∣ c ] c ≠ 0 c\ne0 c = 0 I I I [ A ∣ I ] [A\mid I] [ A ∣ I ] A − 1 A^{-1} A − 1
例。 对
A = ( 1 2 1 0 1 1 ) , b = ( 4 3 ) , A=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad b=\binom43, A = ( 1 0 2 1 1 1 ) , b = ( 3 4 ) , 方程给出 y = 3 − z y=3-z y = 3 − z x = − 2 + z x=-2+z x = − 2 + z ( − 2 , 3 , 0 ) + t ( 1 , − 1 , 1 ) (-2,3,0)+t(1,-1,1) ( − 2 , 3 , 0 ) + t ( 1 , − 1 , 1 )
有限消元必停止，并保持解集
设 A ∈ R m × n A\in\mathbb R^{m\times n} A ∈ R m × n b ∈ R m b\in\mathbb R^m b ∈ R m m , n m,n m , n A x = b Ax=b A x = b
从左到右扫描系数列，并记录下一未使用行。若当前列在未使用行中有非零元素，就将其所在行交换到下一位置，除以非零主元，再从其余各行减去适当倍数，清空该列其他元素，然后推进未使用行指标。若该列所有未使用位置都是零，就跳过该列。先前主元列始终是单位列：当前未使用行在这些列均为零，所以新主元行以及后续减法保留这些零与原主元。总共只有 n n n min ( m , n ) \min(m,n) min ( m , n )
解的分类与齐次自由度
令 r r r 0 = c 0=c 0 = c n − r n-r n − r r = n r=n r = n r < n r<n r < n
对 A z = 0 Az=0 A z = 0 r < n r<n r < n r = n r=n r = n x p x_p x p x p + z x_p+z x p + z A z = 0 Az=0 A z = 0
当 A A A I I I E E E E A = I EA=I E A = I E E E A = E − 1 A=E^{-1} A = E − 1 A E = I AE=I A E = I E E E [ A ∣ I ] [A\mid I] [ A ∣ I ] [ I ∣ A − 1 ] [I\mid A^{-1}] [ I ∣ A − 1 ]
2 向量空间、基与维数
实向量空间 的加法和数乘满足通常的分配、结合、单位元及逆元规则。例子包括 R n \mathbb R^n R n P d P_d P d { ( x , y ) : x + y = 1 } \{(x,y):x+y=1\} {( x , y ) : x + y = 1 }
在 P 2 P_2 P 2 ( 1 , t , t 2 ) (1,t,t^2) ( 1 , t , t 2 ) ( 1 , 1 + t , t + t 2 ) (1,1+t,t+t^2) ( 1 , 1 + t , t + t 2 ) a + b t + c t 2 a+bt+ct^2 a + b t + c t 2 ( a − b + c , b − c , c ) (a-b+c,b-c,c) ( a − b + c , b − c , c )
若映射 T : V → W T:V\to W T : V → W T ( a v + b w ) = a T ( v ) + b T ( w ) T(av+bw)=aT(v)+bT(w) T ( a v + b w ) = a T ( v ) + b T ( w ) 线性的 。其核为 { v : T ( v ) = 0 } \{v:T(v)=0\} { v : T ( v ) = 0 } { T ( v ) : v ∈ V } \{T(v):v\in V\} { T ( v ) : v ∈ V } T ( v ) = T ( w ) T(v)=T(w) T ( v ) = T ( w ) v − w v-w v − w
不预设计数结论的有限基存在与扩充
设实向量空间 V V V t 1 , … , t N t_1,\ldots,t_N t 1 , … , t N u 1 , … , u k u_1,\ldots,u_k u 1 , … , u k N N N j j j u 1 , … , u j u_1,\ldots,u_j u 1 , … , u j N − j N-j N − j u j + 1 u_{j+1} u j + 1 u i u_i u i u j + 1 u_{j+1} u j + 1 k > N k>N k > N N N N N N N V V V u N + 1 u_{N+1} u N + 1 N = 0 N=0 N = 0
每个子空间 W W W W W W W W W N N N W W W W = { 0 } W=\{0\} W = { 0 } W W W W W W p , q p,q p , q p ≤ q p\le q p ≤ q q ≤ p q\le p q ≤ p
3 秩、零度与矩阵表示
设 V V V T : V → W T:V\to W T : V → W
映射 T : V → W T:V\to W T : V → W T ( α v + β u ) = α T v + β T u T(\alpha v+\beta u)=\alpha Tv+\beta Tu T ( αv + β u ) = α T v + βT u ker T \ker T ker T k 1 , … , k r k_1,\ldots,k_r k 1 , … , k r v 1 , … , v s v_1,\ldots,v_s v 1 , … , v s T v 1 , … , T v s Tv_1,\ldots,Tv_s T v 1 , … , T v s im T \operatorname{im}T im T
dim V = dim ker T + dim im T . \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. dim V = dim ker T + dim im T . 这就是秩–零度定理 。有限维且维数相等时，单射与满射等价；无限维空间中该等价可能失效。
对微分 D : P 2 → P 1 D:P_2\to P_1 D : P 2 → P 1 P 1 P_1 P 1 ( 1 , t , t 2 ) (1,t,t^2) ( 1 , t , t 2 ) ( 1 , t ) (1,t) ( 1 , t )
[ D ] = ( 0 1 0 0 0 2 ) . [D]=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}. [ D ] = ( 0 0 1 0 0 2 ) . 每一列都是一个定义域基元素的像的坐标向量。定义矩阵表示的是这一构造，而不是记忆一个数组。
若 P P P [ v ] o l d = P [ v ] n e w [v]_{\rm old}=P[v]_{\rm new} [ v ] old = P [ v ] new A A A T : V → V T:V\to V T : V → V P − 1 A P P^{-1}AP P − 1 A P
4 分层练习
E1 基础。 解 x + y + z = 2 x+y+z=2 x + y + z = 2 2 x + y + 3 z = 5 2x+y+3z=5 2 x + y + 3 z = 5
E2 表示。 对 T : P 2 → P 2 T:P_2\to P_2 T : P 2 → P 2 T ( p ) = p + p ′ T(p)=p+p' T ( p ) = p + p ′ ( 1 , t , t 2 ) (1,t,t^2) ( 1 , t , t 2 )
E3 坐标。 设 A = diag ( 2 , 3 ) A=\operatorname{diag}(2,3) A = diag ( 2 , 3 ) u = ( 1 , 1 ) u=(1,1) u = ( 1 , 1 ) v = ( 1 , − 1 ) v=(1,-1) v = ( 1 , − 1 ) P − 1 A P P^{-1}AP P − 1 A P
E4 证明。 若 V V V W W W T : V → W T:V\to W T : V → W
5 详解
S1. 第二式减第一式的两倍得 − y + z = 1 -y+z=1 − y + z = 1 y = z − 1 y=z-1 y = z − 1 x = 3 − 2 z x=3-2z x = 3 − 2 z ( 3 , − 1 , 0 ) + t ( − 2 , 1 , 1 ) (3,-1,0)+t(-2,1,1) ( 3 , − 1 , 0 ) + t ( − 2 , 1 , 1 ) ( − 2 , 1 , 1 ) (-2,1,1) ( − 2 , 1 , 1 )
S2. 各像为 1 1 1 1 + t 1+t 1 + t 2 t + t 2 2t+t^2 2 t + t 2 [ T ] = ( 1 1 0 0 1 2 0 0 1 ) [T]=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix} [ T ] = 1 0 0 1 1 0 0 2 1
S3. P = ( 1 1 1 − 1 ) P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} P = ( 1 1 1 − 1 ) P − 1 = P / 2 P^{-1}=P/2 P − 1 = P /2 ( 5 / 2 − 1 / 2 − 1 / 2 5 / 2 ) \begin{pmatrix}5/2&-1/2\\-1/2&5/2\end{pmatrix} ( 5/2 − 1/2 − 1/2 5/2 ) T ( u ) = ( 2 , 3 ) = ( 5 / 2 ) u − ( 1 / 2 ) v T(u)=(2,3)=(5/2)u-(1/2)v T ( u ) = ( 2 , 3 ) = ( 5/2 ) u − ( 1/2 ) v
S4. 设共同维数为 n n n dim im T = n − dim ker T \dim\operatorname{im}T=n-\dim\ker T dim im T = n − dim ker T n n n W W W n n n W W W
总结
矩阵乘法表示复合；基将抽象向量与映射转成坐标。核衡量丢失的信息，像衡量可能的输出，秩–零度平衡二者。相似矩阵是在不同基下表示同一算子。
