学习目标与准备
本章假定读者已掌握代数、函数、对数及微积分基础。我们从导数的意义出发，研究边际量、连续最优化和数值方程，并区分局部检验与全局结论、连续最优值与可行整数决策，以及数值估计与经过验证的误差界。
1.1 导数是变化率，不是有限差量
在内部点 a a a
f ′ ( a ) = lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h , f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h, f ′ ( a ) = h → 0 lim h f ( a + h ) − f ( a ) , 可微性等价于局部展开
f ( a + h ) = f ( a ) + f ′ ( a ) h + r ( h ) , r ( h ) / h → 0. f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h),\qquad r(h)/h\to0. f ( a + h ) = f ( a ) + f ′ ( a ) h + r ( h ) , r ( h ) / h → 0. f ′ ( a ) h f'(a)h f ′ ( a ) h C ( q ) C(q) C ( q ) C ′ ( q ) C'(q) C ′ ( q ) 边际成本 ，单位为每单位数量的成本。平均成本 C ( q ) / q C(q)/q C ( q ) / q q > 0 q>0 q > 0
例 1：边际成本与下一单位的成本。 设 C ( q ) = 100 + 5 q + 0.2 q 2 C(q)=100+5q+0.2q^2 C ( q ) = 100 + 5 q + 0.2 q 2 C ′ ( q ) = 5 + 0.4 q C'(q)=5+0.4q C ′ ( q ) = 5 + 0.4 q q = 10 q=10 q = 10 9 9 9 10 10 10 11 11 11
C ( 11 ) − C ( 10 ) = 9.2. C(11)-C(10)=9.2. C ( 11 ) − C ( 10 ) = 9.2. 多出的 0.2 0.2 0.2 h h h ( 5 + 0.4 q ) h + 0.2 h 2 (5+0.4q)h+0.2h^2 ( 5 + 0.4 q ) h + 0.2 h 2
使用常见求导规则：在适当定义域上 ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)'=nx^{n-1} ( x n ) ′ = n x n − 1 ( e x ) ′ = e x (e^x)'=e^x ( e x ) ′ = e x x > 0 x>0 x > 0 ( ln x ) ′ = 1 / x (\ln x)'=1/x ( ln x ) ′ = 1/ x
1.2 单调性与均值定理
为何实数不只有算术规则
有理数支援熟悉的有序算术，但集合 { q ∈ Q : q > 0 , q 2 < 2 } \{q\in\mathbb Q:q>0,\ q^2<2\} { q ∈ Q : q > 0 , q 2 < 2 }
定义
上界与上确界 对非空 A ⊂ R A\subset\mathbb R A ⊂ R a ∈ A a\in A a ∈ A a ≤ u a\le u a ≤ u u u u s s s u u u s ≤ u s\le u s ≤ u s = sup A s=\sup A s = sup A A A A A A A
定理
完备性公理 每个非空且有上界的实数子集都有实数上确界。等价地，每个非空且有下界的子集都有实数下确界，因为 inf A = − sup ( − A ) \inf A=-\sup(-A) inf A = − sup ( − A )
例如 sup ( 0 , 1 ) = 1 \sup(0,1)=1 sup ( 0 , 1 ) = 1 1 1 1 sup [ 0 , 1 ] = 1 \sup[0,1]=1 sup [ 0 , 1 ] = 1
定理
上确界近似判据 非空集合 A A A s s s sup A \sup A sup A ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 a ∈ A a\in A a ∈ A s − ε < a ≤ s s-\varepsilon<a\le s s − ε < a ≤ s
证明
证明两个方向 若 s = sup A s=\sup A s = sup A s − ε s-\varepsilon s − ε s − ε s-\varepsilon s − ε s s s u < s u<s u < s ε = s − u > 0 \varepsilon=s-u>0 ε = s − u > 0 a > u a>u a > u u u u s s s
例题
上确界证明的两部分 令 A = { n / ( n + 1 ) : n ∈ N , n ≥ 1 } A=\{n/(n+1):n\in\mathbb N, n\ge1\} A = { n / ( n + 1 ) : n ∈ N , n ≥ 1 } 1 1 1 1 1 1 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 n > 1 / ε n>1/\varepsilon n > 1/ ε 1 − n / ( n + 1 ) = 1 / ( n + 1 ) < ε 1-n/(n+1)=1/(n+1)<\varepsilon 1 − n / ( n + 1 ) = 1/ ( n + 1 ) < ε sup A = 1 \sup A=1 sup A = 1 1 1 1 A A A 2 2 2
阿基米德性质与稠密性
定理
阿基米德性质 对每个实数 x x x n > x n>x n > x ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N 1 / n < ε 1/n<\varepsilon 1/ n < ε
证明
完备性迫使整数无上界 若正整数有上界，完备性给 s = sup N s=\sup\mathbb N s = sup N s − 1 s-1 s − 1 n ∈ N n\in\mathbb N n ∈ N n > s − 1 n>s-1 n > s − 1 n + 1 > s n+1>s n + 1 > s n + 1 ∈ N n+1\in\mathbb N n + 1 ∈ N s s s 1 / ε 1/\varepsilon 1/ ε
任意实数 x < y x<y x < y n n n n ( y − x ) > 1 n(y-x)>1 n ( y − x ) > 1 m m m n x < m < n y nx<m<ny n x < m < n y x < m / n < y x<m/n<y x < m / n < y x x x y y y q q q x − 2 < q < y − 2 x-\sqrt2<q<y-\sqrt2 x − 2 < q < y − 2 q + 2 q+\sqrt2 q + 2
例题
以反射求下确界 对 B = { 2 + 1 / n : n ≥ 1 } B=\{2+1/n:n\ge1\} B = { 2 + 1/ n : n ≥ 1 } 2 2 2 ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 n > 1 / ε n>1/\varepsilon n > 1/ ε 2 < 2 + 1 / n < 2 + ε 2<2+1/n<2+\varepsilon 2 < 2 + 1/ n < 2 + ε 2 2 2 3 3 3 n = 1 n=1 n = 1
收敛中的量词
定义
实数数列的收敛 数列 ( x n ) (x_n) ( x n ) L ∈ R L\in\mathbb R L ∈ R ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 N ∈ N N\in\mathbb N N ∈ N n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − L ∣ < ε |x_n-L|<\varepsilon ∣ x n − L ∣ < ε x n → L x_n\to L x n → L N N N ε \varepsilon ε
「收敛至 L L L ε 0 > 0 \varepsilon_0>0 ε 0 > 0 N N N n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − L ∣ ≥ ε 0 |x_n-L|\ge\varepsilon_0 ∣ x n − L ∣ ≥ ε 0
例题
构造 epsilon–N 证明 对 x n = ( 3 n + 1 ) / ( n + 2 ) x_n=(3n+1)/(n+2) x n = ( 3 n + 1 ) / ( n + 2 ) L = 3 L=3 L = 3
∣ 3 n + 1 n + 2 − 3 ∣ = 5 n + 2 < 5 n , \left|\frac{3n+1}{n+2}-3\right|=\frac5{n+2}<\frac5n, n + 2 3 n + 1 − 3 = n + 2 5 < n 5 , 选 N > 5 / ε N>5/\varepsilon N > 5/ ε n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − 3 ∣ < ε |x_n-3|<\varepsilon ∣ x n − 3∣ < ε
定理
唯一性、有界性及极限定律 收敛实数数列的极限唯一，且数列有界。若 x n → x x_n\to x x n → x y n → y y_n\to y y n → y x n + y n → x + y x_n+y_n\to x+y x n + y n → x + y x n y n → x y x_ny_n\to xy x n y n → x y y ≠ 0 y\ne0 y = 0 x n / y n → x / y x_n/y_n\to x/y x n / y n → x / y x n ≤ z n ≤ y n x_n\le z_n\le y_n x n ≤ z n ≤ y n L L L z n → L z_n\to L z n → L
证明
唯一性与有界性 若 x n → L x_n\to L x n → L x n → M x_n\to M x n → M ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 ∣ x n − L ∣ < ε / 2 |x_n-L|<\varepsilon/2 ∣ x n − L ∣ < ε /2 ∣ x n − M ∣ < ε / 2 |x_n-M|<\varepsilon/2 ∣ x n − M ∣ < ε /2 ∣ L − M ∣ < ε |L-M|<\varepsilon ∣ L − M ∣ < ε ε \varepsilon ε L = M L=M L = M N N N n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − L ∣ < 1 |x_n-L|<1 ∣ x n − L ∣ < 1 ∣ x n ∣ ≤ ∣ L ∣ + 1 |x_n|\le|L|+1 ∣ x n ∣ ≤ ∣ L ∣ + 1
有界性的逆命题不成立：( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n L L L 1 1 1 − 1 -1 − 1
证明
乘积定律的机制 收敛数列 ( y n ) (y_n) ( y n ) ∣ y n ∣ ≤ M |y_n|\le M ∣ y n ∣ ≤ M
∣ x n y n − x y ∣ ≤ ∣ y n ∣ ∣ x n − x ∣ + ∣ x ∣ ∣ y n − y ∣ , |x_ny_n-xy|\le|y_n||x_n-x|+|x||y_n-y|, ∣ x n y n − x y ∣ ≤ ∣ y n ∣∣ x n − x ∣ + ∣ x ∣∣ y n − y ∣ , 两项均趋零。对商，y n → y ≠ 0 y_n\to y\ne0 y n → y = 0 ∣ y n ∣ ≥ ∣ y ∣ / 2 |y_n|\ge|y|/2 ∣ y n ∣ ≥ ∣ y ∣/2 1 / y n → 1 / y 1/y_n\to1/y 1/ y n → 1/ y
子列
定义
子列 ( x n ) (x_n) ( x n ) ( x n k ) (x_{n_k}) ( x n k ) n 1 < n 2 < ⋯ n_1<n_2<\cdots n 1 < n 2 < ⋯ x n → L x_n\to L x n → L L L L n k ≥ k n_k\ge k n k ≥ k
证明
套叠区间证明 把所有项放入闭有界区间 I 1 I_1 I 1 I 2 I_2 I 2 I k I_k I k n k n_k n k x n k ∈ I k x_{n_k}\in I_k x n k ∈ I k L L L x n k , L ∈ I k x_{n_k},L\in I_k x n k , L ∈ I k
结论是关于子列，而非整个数列。例如 ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n 1 1 1 − 1 -1 − 1
实直线闭集：序列判据与开补集
在通常的经典集合论背景下讨论实直线，并允许可数次见证选择。集合 U U U y y y U U U r > 0 r>0 r > 0 ( y − r , y + r ) (y-r,y+r) ( y − r , y + r ) U U U 1 / n 1/n 1/ n K K K
K K K K K K K K K
由 2 推出 1。 设 x n x_n x n K K K x n x_n x n x x x x x x K K K r > 0 r>0 r > 0 ( x − r , x + r ) (x-r,x+r) ( x − r , x + r ) K K K ∣ x n − x ∣ < r |x_n-x|<r ∣ x n − x ∣ < r x n x_n x n K K K x x x K K K
由 1 推出 2。 固定不属于 K K K y y y y y y K K K n n n x n x_n x n K K K ∣ x n − y ∣ < 1 / n |x_n-y|<1/n ∣ x n − y ∣ < 1/ n ε > 0 \varepsilon>0 ε > 0 N N N 1 / N < ε 1/N<\varepsilon 1/ N < ε n ≥ N n\ge N n ≥ N ∣ x n − y ∣ < 1 / n ≤ 1 / N < ε |x_n-y|<1/n\le1/N<\varepsilon ∣ x n − y ∣ < 1/ n ≤ 1/ N < ε x n x_n x n y y y y y y K K K y y y K K K K K K K K K
学习目标与定义
集合 K ⊆ R K\subseteq\mathbb R K ⊆ R K K K K K K K K K K K K
空集是紧致、闭且有界的，也满足序列紧致性；这些性质均以空真方式成立。在需要选取点或无穷序列的证明中，要单独处理空集。我们使用先前数列内容中的实数完备性及其闭区间套和 Bolzano–Weierstrass 推论。
定理：实数直线上的 Heine–Borel 定理
对 K ⊆ R K\subseteq\mathbb R K ⊆ R
紧致推出闭且有界。 区间 ( − n , n ) (-n,n) ( − n , n ) n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 R \mathbb R R K K K y ∉ K y\notin K y ∈ / K x ∈ K x\in K x ∈ K B ( x , ∣ x − y ∣ / 2 ) B(x,|x-y|/2) B ( x , ∣ x − y ∣/2 ) y y y K K K δ \delta δ y y y x x x y y y ∣ x − y ∣ / 2 ≥ δ |x-y|/2\ge\delta ∣ x − y ∣/2 ≥ δ B ( y , δ ) B(y,\delta) B ( y , δ ) K K K K K K
闭且有界推出紧致。 将非空的 K K K I 0 I_0 I 0 K K K I 0 I_0 I 0 K K K K K K I n I_n I n K ∩ I n K\cap I_n K ∩ I n x n ∈ K ∩ I n x_n\in K\cap I_n x n ∈ K ∩ I n p p p I n I_n I n x n → p x_n\to p x n → p p ∈ K p\in K p ∈ K O O O p p p O O O p p p n n n I n I_n I n O O O K ∩ I n K\cap I_n K ∩ I n
闭且有界推出序列紧致。 K K K K K K
序列紧致推出闭且有界。 若无界，可选取 x n ∈ K x_n\in K x n ∈ K ∣ x n ∣ > n |x_n|>n ∣ x n ∣ > n p p p K K K x n ∈ K x_n\in K x n ∈ K ∣ x n − p ∣ < 1 / n |x_n-p|<1/n ∣ x n − p ∣ < 1/ n K K K p p p p ∈ K p\in K p ∈ K K K K
实数线上的紧致子集
集合 K ⊂ R K\subset\mathbb R K ⊂ R R \mathbb R R K K K K K K
定理
极值定理 若 K ⊂ R K\subset\mathbb R K ⊂ R f : K → R f:K\to\mathbb R f : K → R f f f K K K
证明
抽取逼近最大值的子列 若 f f f x n ∈ K x_n\in K x n ∈ K f ( x n ) > n f(x_n)>n f ( x n ) > n x n k → x ∈ K x_{n_k}\to x\in K x n k → x ∈ K f ( x n k ) → f ( x ) f(x_{n_k})\to f(x) f ( x n k ) → f ( x ) − f -f − f s = sup f ( K ) s=\sup f(K) s = sup f ( K ) x n ∈ K x_n\in K x n ∈ K s − 1 / n < f ( x n ) ≤ s s-1/n<f(x_n)\le s s − 1/ n < f ( x n ) ≤ s x ∈ K x\in K x ∈ K f ( x ) = s f(x)=s f ( x ) = s − f -f − f
例题
哪个假设失效？ 连续函数 f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) 0 0 0 1 1 1 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ]
费马必要条件。 在可微的内点局部最大值或最小值处，f ′ ( a ) = 0 f'(a)=0 f ′ ( a ) = 0
证明。 在局部最大值处，充分小的正增量给出非正差商，负增量给出非负差商。双侧导数的极限要同时满足两种符号，只能为零。对函数取负处理最小值。□ \square □
内点条件很重要：f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] x 3 x^3 x 3
Rolle 定理。 若 a < b a<b a < b f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] ( a , b ) (a,b) ( a , b ) f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f ( a ) = f ( b ) c ∈ ( a , b ) c\in(a,b) c ∈ ( a , b ) f ′ ( c ) = 0 f'(c)=0 f ′ ( c ) = 0
证明。 极值定理保证最大值和最小值存在。若函数为常数，任意内点均符合要求。否则某值不同于相等的端点值，因此最大值或最小值之一出现在内部。可在该处应用费马条件。□ \square □
中值定理。 在相同的连续与可微条件下，不要求端点值相等，则存在 c ∈ ( a , b ) c\in(a,b) c ∈ ( a , b ) f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( c ) ( b − a )
从 f f f f ( a ) + [ f ( b ) − f ( a ) ] ( x − a ) / ( b − a ) f(a)+[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a) f ( a ) + [ f ( b ) − f ( a )] ( x − a ) / ( b − a ) f ′ f' f ′ ∣ f ′ ∣ ≤ M |f'|\le M ∣ f ′ ∣ ≤ M ∣ f ( y ) − f ( x ) ∣ ≤ M ∣ y − x ∣ |f(y)-f(x)|\le M|y-x| ∣ f ( y ) − f ( x ) ∣ ≤ M ∣ y − x ∣
由此，f ′ > 0 f'>0 f ′ > 0 f ′ < 0 f'<0 f ′ < 0 ∣ f ′ ∣ ≤ M |f'|\le M ∣ f ′ ∣ ≤ M ∣ f ( b ) − f ( a ) ∣ ≤ M ∣ b − a ∣ |f(b)-f(a)|\le M|b-a| ∣ f ( b ) − f ( a ) ∣ ≤ M ∣ b − a ∣
若 f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0 f f f
这是必要条件而非充分条件：x 3 x^3 x 3
1.3 求出并验证最优值
当候选点只有有限多个时：
找出内部 f ′ = 0 f'=0 f ′ = 0
加入两个端点；
计算并比较所有候选值。
一阶导数从正变负给出局部极大值，从负变正给出局部极小值。若函数在驻点附近有连续二阶导数，则 f ′ ′ ( a ) > 0 f''(a)>0 f ′′ ( a ) > 0 f ′ ′ ( a ) < 0 f''(a)<0 f ′′ ( a ) < 0 f ′ ′ ( a ) = 0 f''(a)=0 f ′′ ( a ) = 0 x 4 x^4 x 4 − x 4 -x^4 − x 4 x 3 x^3 x 3
例 2：约束利润。 设价格 p ( q ) = 60 − q p(q)=60-q p ( q ) = 60 − q C ( q ) = 100 + 10 q + q 2 C(q)=100+10q+q^2 C ( q ) = 100 + 10 q + q 2 0 ≤ q ≤ 20 0\le q\le20 0 ≤ q ≤ 20
Π ( q ) = q p ( q ) − C ( q ) = 50 q − 2 q 2 − 100. \Pi(q)=qp(q)-C(q)=50q-2q^2-100. Π ( q ) = qp ( q ) − C ( q ) = 50 q − 2 q 2 − 100. 导数为 50 − 4 q 50-4q 50 − 4 q 12.5 12.5 12.5 Π ( 12.5 ) = 212.5 \Pi(12.5)=212.5 Π ( 12.5 ) = 212.5 Π ( 0 ) = − 100 \Pi(0)=-100 Π ( 0 ) = − 100 Π ( 20 ) = 100 \Pi(20)=100 Π ( 20 ) = 100 212.5 212.5 212.5 q = 12.5 q=12.5 q = 12.5 q ≤ 10 q\le10 q ≤ 10 Π ( 10 ) = 200 \Pi(10)=200 Π ( 10 ) = 200
若数量必须是整数，连续最优点未必可行。这里配方得 Π ( q ) = 212.5 − 2 ( q − 12.5 ) 2 \Pi(q)=212.5-2(q-12.5)^2 Π ( q ) = 212.5 − 2 ( q − 12.5 ) 2 q = 12 q=12 q = 12 q = 13 q=13 q = 13 212 212 212
1.4 弹性比较相对变化
对正价格 p p p q = q ( p ) q=q(p) q = q ( p ) p q ′ ( p ) / q ( p ) p q'(p)/q(p) p q ′ ( p ) / q ( p )
E ( p ) = − p q ′ ( p ) q ( p ) . E(p)=-\frac{p q'(p)}{q(p)}. E ( p ) = − q ( p ) p q ′ ( p ) . 对小幅价格变化，Δ q / q ≈ − E Δ p / p \Delta q/q\approx-E\,\Delta p/p Δ q / q ≈ − E Δ p / p
价格对应的收入为 R ( p ) = p q ( p ) R(p)=pq(p) R ( p ) = pq ( p )
R ′ ( p ) = q ( p ) + p q ′ ( p ) = q ( p ) ( 1 − E ( p ) ) . R'(p)=q(p)+pq'(p)=q(p)(1-E(p)). R ′ ( p ) = q ( p ) + p q ′ ( p ) = q ( p ) ( 1 − E ( p )) . 在上述正性假设下，E < 1 E<1 E < 1 E > 1 E>1 E > 1
例 3：幂函数需求。 设 q ( p ) = 100 p − 2 q(p)=100p^{-2} q ( p ) = 100 p − 2 p > 0 p>0 p > 0 q ′ = − 200 p − 3 q'=-200p^{-3} q ′ = − 200 p − 3 E = 2 E=2 E = 2 100 / p 100/p 100/ p
1.5 二分法：带根区间的估计
设实连续函数 f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] f ( a ) f ( b ) < 0 f(a)f(b)<0 f ( a ) f ( b ) < 0 n n n ( b − a ) / 2 n (b-a)/2^n ( b − a ) / 2 n ( b − a ) / 2 n + 1 (b-a)/2^{n+1} ( b − a ) / 2 n + 1
取 m = ( a + b ) / 2 m=(a+b)/2 m = ( a + b ) /2 f ( m ) = 0 f(m)=0 f ( m ) = 0
例 4：开始区间计算。 对 f ( x ) = x 3 + x − 1 f(x)=x^3+x-1 f ( x ) = x 3 + x − 1 f ( 0 ) = − 1 f(0)=-1 f ( 0 ) = − 1 f ( 1 ) = 1 f(1)=1 f ( 1 ) = 1 3 x 2 + 1 > 0 3x^2+1>0 3 x 2 + 1 > 0 0.5 0.5 0.5 f = − 0.375 f=-0.375 f = − 0.375 [ 0.5 , 1 ] [0.5,1] [ 0.5 , 1 ] 0.75 0.75 0.75 f = 0.171875 f=0.171875 f = 0.171875 [ 0.5 , 0.75 ] [0.5,0.75] [ 0.5 , 0.75 ] 0.625 0.625 0.625 0.125 0.125 0.125
符号计算必须可靠：在近似运算中，接近零而符号不确定的值不能认证为正或负；在声称严格包围前应提高精度或采用区间界。
1.6 Newton 法：快速提议而非保证
在满足 f ′ ( x n ) ≠ 0 f'(x_n)\ne0 f ′ ( x n ) = 0 x n x_n x n
y = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( x − x n ) . y=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n). y = f ( x n ) + f ′ ( x n ) ( x − x n ) . 其零点给出 Newton 迭代
x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) . x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ( x n ) . 它在简单根附近往往收敛很快，但初值不佳、导数为零或迭代点超出定义域都可能导致失败。步长小本身不能证明接近根；若要获得可靠结论，应保留包围区间或建立误差界。
例 5：平方根与残差界。 对 f ( x ) = x 2 − 2 f(x)=x^2-2 f ( x ) = x 2 − 2 x 0 = 3 / 2 x_0=3/2 x 0 = 3/2
x 1 = 1 2 ( 3 2 + 2 3 / 2 ) = 17 12 . x_1=\frac12\left(\frac32+\frac{2}{3/2}\right)=\frac{17}{12}. x 1 = 2 1 ( 2 3 + 3/2 2 ) = 12 17 . 第二步得到 x 2 = 577 / 408 x_2=577/408 x 2 = 577/408 α = 2 \alpha=\sqrt2 α = 2 [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ] f ′ ( x ) = 2 x ≥ 2 f'(x)=2x\ge2 f ′ ( x ) = 2 x ≥ 2
∣ x n − α ∣ ≤ ∣ f ( x n ) ∣ 2 . |x_n-\alpha|\le\frac{|f(x_n)|}{2}. ∣ x n − α ∣ ≤ 2 ∣ f ( x n ) ∣ . 经验证的导数下界将残差转化为误差保证。一般而言，单独的 ∣ f ( x n ) ∣ |f(x_n)| ∣ f ( x n ) ∣
1.7 分级练习
基础
若 C ( q ) = 80 + 4 q + q 2 / 2 C(q)=80+4q+q^2/2 C ( q ) = 80 + 4 q + q 2 /2 q > 0 q>0 q > 0 q q q q + h q+h q + h
对 f ( x ) = ln ( 1 + x ) + x e − x f(x)=\ln(1+x)+x e^{-x} f ( x ) = ln ( 1 + x ) + x e − x
求 f ( x ) = x 3 − 3 x f(x)=x^3-3x f ( x ) = x 3 − 3 x
核心
在 [ 0 , 10 ] [0,10] [ 0 , 10 ] Π ( q ) = 24 q − q 2 − 20 \Pi(q)=24q-q^2-20 Π ( q ) = 24 q − q 2 − 20
对 0 < p < 30 0<p<30 0 < p < 30 q ( p ) = 60 − 2 p q(p)=60-2p q ( p ) = 60 − 2 p E ( p ) E(p) E ( p )
举出一个可微函数，使 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0
初始根区间长度为 1 1 1 10 − 3 10^{-3} 1 0 − 3
综合
从 x 0 = 2 x_0=2 x 0 = 2 f ( x ) = x 2 − 3 f(x)=x^2-3 f ( x ) = x 2 − 3 [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ]
对 f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 f(x)=x^3-2x+2 f ( x ) = x 3 − 2 x + 2 x 0 = 0 x_0=0 x 0 = 0 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2
设 f f f [ a , b ] [a,b] [ a , b ] α \alpha α f ′ ( x ) ≥ m > 0 f'(x)\ge m>0 f ′ ( x ) ≥ m > 0 x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x ∈ [ a , b ] ∣ x − α ∣ ≤ ∣ f ( x ) ∣ / m |x-\alpha|\le|f(x)|/m ∣ x − α ∣ ≤ ∣ f ( x ) ∣/ m
1.8 完整解答
C ′ = 4 + q C'=4+q C ′ = 4 + q C / q = 80 / q + 4 + q / 2 C/q=80/q+4+q/2 C / q = 80/ q + 4 + q /2 C ( q + h ) − C ( q ) = ( 4 + q ) h + h 2 / 2 C(q+h)-C(q)=(4+q)h+h^2/2 C ( q + h ) − C ( q ) = ( 4 + q ) h + h 2 /2 定义域为 x > − 1 x>-1 x > − 1 1 / ( 1 + x ) + e − x − x e − x = 1 / ( 1 + x ) + ( 1 − x ) e − x 1/(1+x)+e^{-x}-xe^{-x}=1/(1+x)+(1-x)e^{-x} 1/ ( 1 + x ) + e − x − x e − x = 1/ ( 1 + x ) + ( 1 − x ) e − x
f ′ = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) f'=3(x-1)(x+1) f ′ = 3 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x < − 1 x<-1 x < − 1 − 1 < x < 1 -1<x<1 − 1 < x < 1 x > 1 x>1 x > 1 − 1 -1 − 1 1 1 1 在 [ 0 , 10 ] [0,10] [ 0 , 10 ] Π ′ = 24 − 2 q > 0 \Pi'=24-2q>0 Π ′ = 24 − 2 q > 0 q = 10 q=10 q = 10 240 − 100 − 20 = 120 240-100-20=120 240 − 100 − 20 = 120 12 12 12
E = 2 p / ( 60 − 2 p ) = p / ( 30 − p ) E=2p/(60-2p)=p/(30-p) E = 2 p / ( 60 − 2 p ) = p / ( 30 − p ) R = 60 p − 2 p 2 = 450 − 2 ( p − 15 ) 2 R=60p-2p^2=450-2(p-15)^2 R = 60 p − 2 p 2 = 450 − 2 ( p − 15 ) 2 p = 15 p=15 p = 15 E = 1 E=1 E = 1 取 f ( x ) = x 3 f(x)=x^3 f ( x ) = x 3 3 x 2 3x^2 3 x 2 f ′ ( 0 ) = 0 f'(0)=0 f ′ ( 0 ) = 0
二分 n n n 1 / 2 n + 1 1/2^{n+1} 1/ 2 n + 1 2 9 = 512 < 1000 2^9=512<1000 2 9 = 512 < 1000 2 10 = 1024 ≥ 1000 2^{10}=1024\ge1000 2 10 = 1024 ≥ 1000 n = 9 n=9 n = 9 1 / 512 1/512 1/512
迭代为 x n + 1 = ( x n + 3 / x n ) / 2 x_{n+1}=(x_n+3/x_n)/2 x n + 1 = ( x n + 3/ x n ) /2 x 1 = 7 / 4 x_1=7/4 x 1 = 7/4 x 2 = 97 / 56 x_2=97/56 x 2 = 97/56 x 2 x_2 x 2 [ 1 , 2 ] [1,2] [ 1 , 2 ] f ′ ≥ 2 f'\ge2 f ′ ≥ 2 ( 97 / 56 ) 2 − 3 = ( 9409 − 9408 ) / 3136 = 1 / 3136 (97/56)^2-3=(9409-9408)/3136=1/3136 ( 97/56 ) 2 − 3 = ( 9409 − 9408 ) /3136 = 1/3136 1 / 6272 1/6272 1/6272
在零处 f = 2 f=2 f = 2 f ′ = − 2 f'=-2 f ′ = − 2 x 1 = 1 x_1=1 x 1 = 1 f = 1 f=1 f = 1 f ′ = 1 f'=1 f ′ = 1 x 2 = 0 x_2=0 x 2 = 0 0 0 0 1 1 1
均值定理给出 f ( v ) − f ( u ) ≥ m ( v − u ) > 0 f(v)-f(u)\ge m(v-u)>0 f ( v ) − f ( u ) ≥ m ( v − u ) > 0 u < v u<v u < v f f f x ≠ α x\ne\alpha x = α c c c f ( x ) − f ( α ) = f ′ ( c ) ( x − α ) f(x)-f(\alpha)=f'(c)(x-\alpha) f ( x ) − f ( α ) = f ′ ( c ) ( x − α ) f ( α ) = 0 f(\alpha)=0 f ( α ) = 0 ∣ f ( x ) ∣ ≥ m ∣ x − α ∣ |f(x)|\ge m|x-\alpha| ∣ f ( x ) ∣ ≥ m ∣ x − α ∣ x = α x=\alpha x = α
总结
边际量是导数，不是精确的下一单位变化。求最优值须检查定义域和端点，驻点本身并不足够。弹性比较相对变化率，须说明符号约定。二分法保留根区间并给出透明误差界；Newton 法提供有效迭代，但须有保障或分析才能断言收敛与精度。
