4. 微分方程与科学守恒模型

学习目标与准备

本章以导数、链式和乘积法则，以及第 3 章的换元与分部积分为基础。微分方程描述未知函数如何变化；初始条件指定轨迹的起点。我们将求解初等可分离及线性方程，建立守恒方程，并检验区间与平衡解。

科学例子采用假设模型。模型解不能证明其假设无限期成立：例如完全混合水箱模型必须在溢出或体积不再为正时停止。

4.1 解、初始条件与区间

一阶常微分方程形如 $y'=f(t,y)$。若在某区间上的可微函数及其导数代入后，对该区间每个输入都满足方程，该函数就是区间上的解。初值问题再加上 $y(t_0)=y_0$。

对 $y'=ky$，求导 $Ce^{kt}$ 可验证一族解；初值确定 $C$。在通常的局部存在唯一性条件下，即 $f$ 和 $f_y$ 在初始点附近连续，可得到唯一局部解。“局部”不保证未来每个时刻都有有限解。

1. 局部定理及其假设

方程 $y'=f(t,y)$ 的解是在一个区间上可微、图像位于 $f$ 的定义域内并处处满足方程的实函数。初值条件为 $y(t_0)=y_0$。局部唯一是指：任意两个具有此初值的解在 $t_0$ 的某个共同邻域内相等。

定理。 设开集 $U\subset\mathbb R^2$ 包含 $(t_0,y_0)$。假设 $f:U\to\mathbb R$ 连续，偏导数 $f_y$ 在 $U$ 上存在且连续。则初值问题在 $t_0$ 附近的某个开区间上存在解，并且在上述局部意义下唯一。不要求对 $t$ 的偏导数存在。

2. 两个一致极限事实

对非空紧区间 $I$，以 $C(I)$ 表示其上的连续实函数，定义 $\|u-v\|_\infty=\sup_{t\in I}|u(t)-v(t)|$。一致收敛就是依此距离收敛；依此距离为柯西列的函数列也一致柯西。

定理：一致完备性

实值函数列一致收敛，当且仅当它一致 Cauchy。

证明。 一致收敛时，两个大小为 $\varepsilon/2$ 的误差给出 Cauchy 估计。反之，一致 Cauchy 蕴含每个固定 $x$ 的 $(f_n(x))$ 都是实数 Cauchy 序列，故定义 $f(x)=\lim_n f_n(x)$。固定 $\varepsilon>0$，使用容差 $\varepsilon/2$ 的一致 Cauchy 条件。对每个 $x$ 和 $n\ge N$，在估计中令 $m\to\infty$，得到 $|f_n(x)-f(x)|\le\varepsilon/2<\varepsilon$。同一 $N$ 对所有点有效，故一致收敛。值域空间 $\mathbb R$ 的完备性提供逐点极限。

定理

一致极限保持连续

若每个 $f_n$ 相对 $A$ 在 $a\in A$ 连续，且 $f_n\to f$ 在 $A$ 上一致收敛，则 $f$ 在 $a$ 连续。

证明

三项估计

给定 $\varepsilon>0$，选 $N$ 使所有 $x\in A$ 都有 $|f_N(x)-f(x)|<\varepsilon/3$。由固定函数 $f_N$ 在 $a$ 连续，选 $\delta$ 使 $|x-a|<\delta$ 时 $|f_N(x)-f_N(a)|<\varepsilon/3$。则

$$|f(x)-f(a)|\le|f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(a)|+|f_N(a)-f(a)|<\varepsilon.$$

这些事实以实数完备性为基础，也将保留下文的闭值域约束。

3. 积分迭代证明

矩形及定量常数。 取 $a,b>0$，使闭矩形 $Q=[t_0-a,t_0+a]\times[y_0-b,y_0+b]$ 包含于 $U$。极值定理给出有限常数 $M,L\ge0$，使 $Q$ 上 $|f|\le M$ 且 $|f_y|\le L$。在 $y$ 坐标上应用一元中值定理，得

$$|f(t,y)-f(t,z)|\le L|y-z|\qquad(t\in[t_0-a,t_0+a],\ y,z\in[y_0-b,y_0+b]).$$

这里使用的全部线段均在 $Q$ 内，没有假设对 $t$ 可微。令

$$h=\min\left\{a,\frac b{M+1},\frac1{2(L+1)}\right\}>0,\quad I=[t_0-h,t_0+h],\quad q=hL<\frac12.$$

于是 $hM<b$。分母加一避免了 $M=0$ 或 $L=0$ 时除以零。

容许函数构成的完备空间。 令 $X=\{u\in C(I):\|u-y_0\|_\infty\le b\}$，其中 $y_0$ 也表示常值函数。若 $(u_n)$ 依上述距离为柯西列，一致完备性给出一致极限 $u$。一致极限保持连续性，故 $u$ 连续；对每个 $t$ 在 $|u_n(t)-y_0|\le b$ 中取极限，得 $|u(t)-y_0|\le b$。所以 $u\in X$，空间 $X$ 完备。

积分映射。 定义

$$(Tu)(t)=y_0+\int_{t_0}^{t}f(s,u(s))\,ds.$$

因为 $u$ 的图像留在 $Q$ 内，被积函数连续，故 $Tu$ 连续，并且

$$\|Tu-y_0\|_\infty\le hM<b,\qquad\|Tu-Tv\|_\infty\le hL\|u-v\|_\infty=q\|u-v\|_\infty.$$

当 $t<t_0$ 时，先交换积分上下限，再取绝对值即可得到这些界。因此 $T$ 是 $X$ 的自映射，并使距离收缩。

收敛与不动点。 从 $u_0(t)=y_0$ 出发，令 $u_{n+1}=Tu_n$。若 $q=0$，距离估计说明任意 $u,v\in X$ 都有 $Tu=Tv$，因此 $Tu_1=Tu_0=u_1$，第一步已是不动点。现设 $0<q<1$，并令 $d=\|u_1-u_0\|_\infty$。反复使用收缩估计，对每个整数 $j\ge0$ 有 $\|u_{j+1}-u_j\|_\infty\le q^jd$。于是对 $p\ge1$，

$$\|u_{n+p}-u_n\|_\infty\le\sum_{j=n}^{n+p-1}q^jd\le\frac{q^n d}{1-q}\longrightarrow0\quad(n\to\infty).$$

由完备性得 $u_n\to u\in X$。又因

$$\|Tu-u\|_\infty\le q\|u-u_n\|_\infty+\|u_{n+1}-u\|_\infty\longrightarrow0,$$

所以 $Tu=u$。在先前的不等式中令 $p\to\infty$，还得到 $\|u-u_n\|_\infty\le q^nd/(1-q)$。当 $q=0$ 时则以 $u_1$ 已精确为结论。

微分方程与唯一性。 不动点方程与微积分基本定理给出 $I$ 内点处 $u'(t)=f(t,u(t))$，并且 $u(t_0)=y_0$。限制在 $I$ 的内部便得到所需的局部解。若 $u,v\in X$ 同为不动点，则 $\|u-v\|_\infty\le q\|u-v\|_\infty$；由 $q<1$ 必有两函数相等。

最后，任意另一个局部解在 $t_0$ 连续且取值 $y_0$，因此在某个共同闭区间 $J=[t_0-\eta,t_0+\eta]\subset I$ 上其图像留在 $Q$ 内，其中 $\eta>0$。将微分方程从 $t_0$ 积分，得到相同的积分方程。此时收缩因子为 $\eta L\le q<1$，所以它与 $u$ 在 $J$ 上相等。这证明了局部唯一性，并未假设另一个解在所有未来时间都留在 $Q$ 内。$\square$

局部存在不意味着全局延拓；以后遇到定义域边界或无界增长，需要另作延拓论证。偏导数条件是充分条件，并非所有唯一可解方程都必须满足的必要条件。

例 1：有限区间的重要性。 问题 $y'=y^2$、$y(0)=1$ 的解为 $y=1/(1-t)$，因为其导数为 $1/(1-t)^2=y^2$。它在一处有极点；包含零的最大连通区间为 $(-\infty,1)$。公式在另一个区间 $(1,\infty)$ 上有代数意义，并不构成穿过奇异时刻的一个解。

4.2 分离变量与平衡解检查

对 $y'=g(t)h(y)$，若沿解所在区间有 $h(y)\ne0$，则

$$\int\frac{dy}{h(y)}=\int g(t)dt.$$

该记号是对 $1/h$ 的原函数应用链式法则的简写。除法之前应检查 $h$ 的所有零点是否给出常数平衡解；分离变量可能丢失它们。

例 2：隐式解也是解。 求解 $y'=t/(1+y^2)$、$y(0)=1$。相乘并积分得到

$$y+\frac{y^3}{3}=\frac{t^2}{2}+\frac43.$$

函数 $H(y)=y+y^3/3$ 在 $\mathbb R$ 上严格递增，因为 $H'=1+y^2>0$，且值域是全体实数。因此该关系对每个 $t$ 确定唯一实数 $y$。对关系求导可恢复 $(1+y^2)y'=t$，初始条件也成立。严格的隐式答案无需根式或三次方程公式。

例 3：有界人口增长。 模型

$$N'=rN(1-N/K),\qquad r,K>0$$

的平衡解为 $N=0,K$。对正初值 $N_0$，分离变量得到可验证的解

$$N(t)=\frac{K}{1+(K/N_0-1)e^{-rt}}.$$

当 $t\ge0$ 时分母为正。若 $0<N_0<K$，增长为正，人口趋于 $K$；若 $N_0>K$，增长为负，人口下降趋近 $K$。零平衡解须单独处理。参数 $K$ 是模型中的极限尺度，并非对未来人口的经验保证。

4.3 线性方程与积分因子

对系数连续的线性方程 $y'+p(t)y=q(t)$，选取

$$\mu(t)=\exp\left(\int p(t)dt\right).$$

于是 $\mu'=p\mu$，乘积法则将方程化为 $(\mu y)'=\mu q$。若初值给在 $t_0$，

$$y(t)=\frac{\mu(t_0)y_0+\int_{t_0}^t\mu(s)q(s)ds}{\mu(t)}.$$

积分因子非零；将它乘以常数不改变解的公式。所选解区间必须保持系数连续。

例 4：向环境温度冷却。 假设 $T'=-k(T-T_a)$、$k>0$，恒定环境温度为 $T_a$。令 $u=T-T_a$ 得 $u'=-ku$，因此

$$T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}.$$

若 $T_a=20$、$T_0=80$ 和 $T(10)=50$，则 $e^{-10k}=1/2$ 且 $k=\ln2/10$，所以 $T(20)=20+60/4=35$。模型每十个时间单位使与环境的温差减半，而不是使绝对温度减半。

4.4 定体积混合

质量守恒为“流入率减流出率”。假设瞬时完全混合、无化学反应、体积可加，并给定流入浓度。若体积 $V$ 恒定，流入和流出均为 $q>0$，流入浓度为 $c_{in}$，盐质量为 $S$，则箱内浓度为 $S/V$，且

$$S'=q c_{in}-q S/V.$$

每一项的单位都是质量／时间。只有因为假设完全混合，流出浓度才等于箱内浓度。

例 5：定体积水箱。 设 $V=100$ L、$q=2$ L/min、$c_{in}=3$ g/L 和 $S(0)=100$ g。则

$$S'+0.02S=6,\qquad S(t)=300-200e^{-0.02t}.$$

浓度为 $3-2e^{-0.02t}$ g/L。当 $e^{-0.02t}=1/2$ 时达到 $2$ g/L，即在 $50\ln2$ 分钟时。浓度始终介于初始浓度和流入浓度之间，是一个有用的独立检查。若流入不含盐，同一模型给出指数冲洗。

4.5 变体积混合

若流入率和流出率不同，体积会变化，不能用常数代替。设 $V'=q_{in}-q_{out}$，且

$$S'=q_{in}c_{in}-q_{out}S/V(t).$$

仅在体积为正且不超过容量时使用该模型。

例 6：边注入边混合。 水箱起初有 $100$ L 纯水，接收浓度 $2$ g/L、流率 $3$ L/min 的流入液，并以 $2$ L/min 排出。溢出前，$V(t)=100+t$，且

$$S'+\frac2{100+t}S=6,\qquad S(0)=0.$$

积分因子为 $(100+t)^2$，因此

$$[(100+t)^2S]'=6(100+t)^2.$$

积分得 $S=2(100+t)+C/(100+t)^2$。初值给出 $C=-2\cdot100^3$，于是浓度为

$$\frac{S}{V}=2\left(1-\left(\frac{100}{100+t}\right)^3\right).$$

它从零开始，对 $t\ge0$ 非负，且始终低于流入浓度。虽然公式有无穷时间极限，有限容量水箱会先溢出；实际应用必须在到达容量的时刻停止。

4.6 检查模型解

可靠的解答报告应进行四项检查：

1. 代入微分方程，包括单位。
2. 验证初始条件。
3. 写明避开分母零点或系数奇异点的区间。
4. 检查模型界限，如质量非负、体积可行或温度范围。

方程的精确解可能不符合模型检查；反过来，隐式公式即使没有初等显式表达式也可能完全有效。单靠数值图像不能替代这四项检查。

4.7 分层练习

基础

1. 求解 $y'=-0.5y$、$y(0)=8$，并求 $y=2$ 的时刻。
2. 在任何除法之前列出 $y'=y(3-y)$ 的平衡解。
3. 验证 $y=t-1+2e^{-t}$ 满足 $y'+y=t$ 并求初值。

核心

4. 求解 $y'=ty$、$y(0)=2$，包括零平衡解的讨论。
5. 求解 $y'+3y=12$、$y(0)=1$。
6. 冷却模型的环境温度为 $10$、初温为 $50$，温差每五个时间单位减半。求 $T(t)$ 和 $T(10)$。
7. 一个 $50$ L 完全混合水箱的流入和流出均为 $1$ L/min，流入浓度为 $4$ g/L，初始盐质量为零。求盐质量和浓度。
8. 若 logistic 参数为 $K=1000$、$r=0.1$、$N_0=100$，求 $N=500$ 的时刻。

综合

9. 在例 6 中，若水箱容量为 $150$ L，说明溢出前有效的未来时间范围，并求容量边界时的浓度。
10. 解释为什么将完全混合水箱的流出浓度换成固定流入浓度通常是错误的。用初始纯水及正流入浓度说明立即产生的矛盾。

4.8 完整解答

1. $y=8e^{-0.5t}$。令其等于二得 $e^{-0.5t}=1/4$，故 $t=2\ln4$。
2. 常数解满足 $y(3-y)=0$，得到 $y=0,3$。
3. $y'=1-2e^{-t}$，故 $y'+y=t$。零时 $y(0)=-1+2=1$。
4. 在零以外分离变量得到 $\ln|y|=t^2/2+C$，初值给出 $y=2e^{t^2/2}$。零函数也满足方程，但不满足此初值。所列正解对所有实数 $t$ 有定义。
5. 平衡值为四，初始偏差为负三，故 $y=4-3e^{-3t}$。求导并加上 $3y$ 得十二，且初值为一。
6. 温差为 $40e^{-kt}$，其中 $k=\ln2/5$。因此 $T(t)=10+40\,2^{-t/5}$ 和 $T(10)=20$。
7. $S'=4-S/50$、$S(0)=0$，所以盐质量为 $S=200(1-e^{-t/50})$ g，浓度为 $4(1-e^{-t/50})$ g/L。
8. $N=1000/(1+9e^{-0.1t})$。令 $N=500$ 得 $1+9e^{-0.1t}=2$，故 $t=10\ln9$，单位为模型时间单位。
9. 体积为 $100+t$，故溢出前使用 $0\le t<50$ 分钟。在容量边界 $t=50$，浓度为 $2[1-(2/3)^3]=38/27$ g/L。该边界极限在溢出前混合假设下有效；越过溢出时刻后不能不更新流出规则便继续使用同一方程模型。
10. 初始为纯水时，箱内零时刻浓度为零，故盐流出率起初必须为零。若把正流入浓度赋给流出流，便预测在箱内有盐之前已有盐流出。完全混合要求流出浓度为 $S(t)/V(t)$，它从零开始变化，而不是恒等于流入浓度。

总结与后续联系

微分方程规定变化，初值选定轨迹。分离变量需要检查平衡解；线性方程可由积分因子推导求解。守恒关系给出混合模型的正确输入和输出，并须明确处理体积变化。解必须满足方程、初值、数学区间和物理约束。