学习目标与准备

本章以极限、连续性和基础微分（包括乘积法则与链式法则）为基础。我们将联系变化率与累积总量，介绍定积分，发展换元与分部积分，并将积分应用于假设的连续概率模型。第 1 章介绍极限和微分，第 2 章讨论优化与敏感度。

历史选修拓展。 第 3.6 节及相关概率练习是历史背景下的选修拓展。

积分相加许多微小贡献。贡献带符号时，积分是净总量而非无符号面积；对密度积分时得到概率，而非某点密度高度。区分这些含义可避免常见错误。

3.1 从微小贡献到定积分

将 $[a,b]$ 划分为端点为 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 的子区间，选择样本点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，构造 Riemann 和

$$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i,\qquad\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.$$

网格大小是最大的 $\Delta x_i$。若有界函数的这些和在网格趋于零时，不论如何选择样本点都趋于同一有限数，则称它 Riemann 可积。该数记为 $\int_a^b f(x)\,dx$。闭有界区间上的连续函数均可积。

若 $f$ 是以升／分钟计的流率，而 $x$ 是以分钟计的时间，则积分单位为升。样本矩形的高度是流率，宽度是时间，乘积为总量。

一致连续

定义

整个定义域共用一个 delta

若对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使所有 $x,y\in A$ 只要满足 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，则称 $f:A\to\mathbb R$ 在 $A$ 上一致连续。$\delta$ 可依赖 $\varepsilon$，但不可依赖 $x$ 或 $y$。

定理

Heine–Cantor 定理

紧致集合上的每个连续实值函数都一致连续。

证明

用紧致性作反证

若非一致连续，则存在 $\varepsilon_0>0$，使每个 $n$ 都有 $x_n,y_n\in K$，满足 $|x_n-y_n|<1/n$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$。紧致性给子列 $x_{n_k}\to x\in K$；由两点距离趋零，也有 $y_{n_k}\to x$。连续性给 $f(x_{n_k})\to f(x)$ 及 $f(y_{n_k})\to f(x)$，与输出距离至少为 $\varepsilon_0$ 矛盾。

例题

无界定义域上连续但非一致连续

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上连续，但不一致连续。取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，则 $|x_n-y_n|=1/n\to0$，但 $|f(y_n)-f(x_n)|=2+1/n^2\not\to0$。在任何闭有界区间上，Heine–Cantor 定理却保证一致连续。也可直接证明：若 $|x|,|y|\le M$，则 $|x^2-y^2|\le2M|x-y|$。

学习目标与定义

推导可积性结论背后的证明，并区分有界与可积。设 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。对分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，记 $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$，并定义 $L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i$、$U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i$。下积分 $\underline I$ 是所有下和的上确界，上积分 $\overline I$ 是所有上和的下确界。加细分割使下和不减、上和不增。

对任意两个分割 $P,Q$，由其公共加细得 $L(f,P)\le U(f,Q)$，故 $\underline I\le\overline I$。有界性保证这些量有限。上下积分相等时，称函数 Riemann 可积。

定理：Darboux 判据

有界函数可积，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$ 都存在分割，使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

证明。 若上下积分均等于 $I$，由上下确界逼近性质，取一个大于 $I-\varepsilon/2$ 的下和及一个小于 $I+\varepsilon/2$ 的上和。它们的公共加细的上下和之差小于 $\varepsilon$。反之，若对每个正的 $\varepsilon$ 都有这样的分割，则不等式 $0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)$ 迫使上下积分之差为零。

定理：允许有限个不连续点

若 $f$ 有界，且除至多有限个点外处处连续，则它可积。

证明。 设 $|f|\le M$，并取 $M>0$。用有限个小区间围住例外点，将其端点加入分割，使这些区间总长度小于 $\varepsilon/(4M)$；在 $[a,b]$ 的端点处采用单侧区间。它们对上下和之差的贡献至多是总长度的 $2M$ 倍，因而小于 $\varepsilon/2$。剩余的有限个闭区间上，$f$ 连续，故一致连续。将各区间充分加细，使所得每个小区间上的振幅小于 $\varepsilon/[2(b-a)]$，则其上下和差的总贡献小于 $\varepsilon/2$。合并全部分割点，得到小于 $\varepsilon$ 的差。若某例外区间的端点本身是例外点，稍微移动该端点，使实际例外点都在所选区间内部或定义域端点，从而剩余闭区间上仍连续。

连续函数与任意标签的细网格

设 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 连续，其中 $a<b$。极值定理保证 $f$ 有界，Heine–Cantor 定理保证它一致连续。对分割 $P$，用 $L(f,P)$ 和 $U(f,P)$ 表示其 Darboux 下和与上和。已证明的连续函数 Darboux 可积定理给出共同积分值 $I$。

固定 $\varepsilon>0$。由一致连续性，存在 $\delta>0$，使得只要 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/[2(b-a)]$。如果 $P$ 的网格大小小于 $\delta$，每个子区间上的振幅至多为 $\varepsilon/[2(b-a)]$，因此

$$U(f,P)-L(f,P)\le\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.$$

对任意标签选择，其标签和 $S(P)$ 位于 $L(f,P)$ 与 $U(f,P)$ 之间；$I$ 也在两者之间。因此 $|S(P)-I|\le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。同一个 $\delta$ 对所有网格足够小的分割和所有标签选择都适用。这证明了所述闭区间上连续函数满足标签网格定义。

设 $a<b$，取分割 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，记 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，选标签 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，网格为 $\|P\|=\max_i\Delta x_i$。若有限数 $I$ 满足：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得每个满足 $\|P\|<\delta$ 的分割及任意标签选择都满足 $|\sum_i f(\xi_i)\Delta x_i-I|<\varepsilon$，则 $I$ 是定积分 $\int_a^bf(x)dx$。闭区间上的连续函数可积。

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，令 $A(x)=\int_a^xf(t)dt$。对 $x\in(a,b)$ 及满足 $x+h\in[a,b]$ 的非零 $h$，积分估计给出

$$\left|\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)\right|\le\sup_{t\in[\min(x,x+h),\max(x,x+h)]}|f(t)-f(x)|\longrightarrow0\quad(h\to0).$$

因此内部有 $A'(x)=f(x)$；端点处同理得到单侧导数。若 $F$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可微且其中 $F'=f$，由中值定理，$F-A$ 在 $[a,b]$ 上为常数。因此 $\int_a^bf=F(b)-F(a)$。

例 1：具有精确极限的和。 对 $[0,1]$ 上的 $f(x)=x$，使用 $n$ 个等宽区间及右端点 $i/n$。和为

$$\sum_{i=1}^n\frac in\frac1n=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac12+\frac1{2n}.$$

它趋于 $1/2$。这里的连续性保证可积，因此所有充分细的带标记划分都有相同极限；只计算一个方便的划分族，不能对任意函数证明此事实。

积分具有线性和区间可加性：

$$\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg,\qquad \int_a^cf=\int_a^bf+\int_b^cf.$$

若区间上 $f\le g$，其积分保持相同顺序。交换积分端点改变符号。

3.2 微积分基本定理

若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续且 $A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$，则对 $a<x<b$ 有 $A'(x)=f(x)$。为理解其原因，

$$\frac{A(x+h)-A(x)}h=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$$

这是短区间上 $f$ 的平均值。它与 $f(x)$ 的差的绝对值，由该区间上最大的 $|f(t)-f(x)|$ 控制；由连续性该界趋于零。正负两种 $h$ 均有相同结论。

第二种形式说明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，$F$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可微，且在 $(a,b)$ 上 $F'=f$，则

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

事实上，累积积分函数与 $F$ 导数相同；由均值定理，它们的差为常数。这将累积问题转化为原函数计算。

不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ 表示某区间上的原函数族。常数不可缺少，因为求导会消去常数；计算定积分后不再附加该常数。

例 2：从变化率到总量。 假设水箱净流入率为 $r(t)=6-2t$ L/min，时间范围为 $0\le t\le4$。体积变化为

$$\int_0^4(6-2t)\,dt=[6t-t^2]_0^4=8\text{ L}.$$

流入率在 $t=3$ 改变符号。无论流入流出都按正量计算时，总移动量为 $\int_0^4|6-2t|\,dt=9+1=10$ L。净变化与总移动量未必相同。

3.3 换元逆转链式法则

链式法则给出 $dF(g(x))/dx=F'(g(x))g'(x)$。因此在通常的连续与可微假设下，

$$\int F'(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C.$$

对定积分，也要变换积分界：

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du.$$

该公式由对原函数复合求导得到；采用此一元形式时，不要求 $g$ 全局单射。

2. 定积分换元与分部积分

设 $a<b$，$g\in C^1([a,b])$，$f$ 在包含 $g([a,b])$ 的区间 $I$ 上连续；上下限倒置时采用有向积分，则

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$

证明。 若 $I$ 的有限端点属于像集，在该端点作常值延拓，从而将 $f$ 连续延拓至包含 $g([a,b])$ 的开区间。取其中 $u_0$，定义 $F(u)=\int_{u_0}^{u}f(t)\,dt$。由微积分基本定理，在该开区间上 $F'=f$。链式法则在 $(a,b)$ 给出 $(F\circ g)'=f(g)g'$。对连续被积函数 $f(g)g'$ 应用微积分基本定理，得 $F(g(b))-F(g(a))$，即右边。在这些假设下无需 $g$ 单调或单射。

若 $u,v\in C^1([a,b])$，则

$$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.$$

证明。 对乘积法则 $(uv)'=u'v+uv'$ 积分，再利用线性与微积分基本定理整理。连续性保证所有积分为正常黎曼积分。

例。 令 $g(x)=x^2$ 在 $[-1,1]$ 上，$f(u)=e^u$，换元得 $\int_{-1}^{1}2xe^{x^2}dx=\int_1^1e^u du=0$，尽管 $g$ 不是单射。分部积分给出 $\int_0^1xe^x dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x dx=1$。

补充微积分练习：CR 题组

CR 题组完整解答

例 3：内层表达式及其导数。 计算

$$\int_0^2\frac{2x}{1+x^2}\,dx.$$

令 $u=1+x^2$，则 $du=2x\,dx$；积分界变为 $u=1$ 和 $u=5$。结果为 $\int_1^5du/u=\ln5$。也可在原积分界之间计算 $\ln(1+x^2)$。不要把换元后的被积式与未变换的积分界混用。

对 $\int x\sqrt{1+x^2}\,dx$，同样换元得到 $\frac12\int u^{1/2}du=\frac13(1+x^2)^{3/2}+C$。导数检查可确认没有遗漏因子。

3.4 分部积分逆转乘积法则

对 $(uv)'=u'v+uv'$ 积分得

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

定积分须包括边界项 $[uv]_a^b$。当一个因子求导后简化、另一个因子可积分时，此方法很有用。

例 4：时间加权指数。 对 $k>0$，

$$\int_0^T te^{-kt}\,dt =\left[-\frac tk e^{-kt}\right]_0^T+\frac1k\int_0^T e^{-kt}\,dt =\frac1{k^2}\bigl(1-e^{-kT}(1+kT)\bigr).$$

$e^{-kt}$ 的原函数中的负号不可省略。在 $T=0$ 时结果为零，符合要求。再对 $T$ 求导得到 $Te^{-kT}$，构成第二项检查。

3.5 面积与合理分段

连续曲线穿过坐标轴时，带符号积分可能使正负贡献抵消。$y=f(x)$ 与坐标轴之间的无符号面积为 $\int|f(x)|dx$，可在零点分段计算。两曲线之间的面积为 $\int|f-g|dx$；“上方曲线”可能在区间内改变。

例 5：相交曲线。 在 $[0,2]$ 上比较 $y=x$ 与 $y=x^2$。它们在 $0$ 和 $1$ 相交，面积为

$$\int_0^1(x-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-x)\,dx =\frac16+\frac56=1.$$

使用 $\int_0^2(x^2-x)dx$ 会得到 $2/3$，即带符号差，而非面积。

3.6 密度、分布与期望（历史选修拓展）

连续概率模型可由非负密度 $p$ 指定，且其总积分为 $1$。对区间，

$$\Pr(a\le X\le b)=\int_a^b p(x)\,dx.$$

密度不是点概率：在该模型中单个点的概率为零，密度高度可以大于 $1$。累积分布函数为 $F(x)=\Pr(X\le x)=\int_{-\infty}^xp(t)dt$。在 $p$ 连续处，$F'(x)=p(x)$。

当有关积分绝对收敛时，期望为 $E[X]=\int xp(x)dx$，方差为 $E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E[X]^2$。这些定义需要选定概率模型；任意非负图像只有在归一化后才是密度。

例 6：先归一化。 设 $p(x)=cx$ 在 $0\le x\le2$ 上成立，其余处为零。归一化要求 $c\int_0^2x\,dx=2c=1$，所以 $c=1/2$。于是

$$\Pr(X\le1)=\int_0^1\frac x2dx=\frac14,\quad E[X]=\int_0^2\frac{x^2}2dx=\frac43.$$

其 CDF 在 $x<0$ 为 $0$，在 $0\le x\le2$ 为 $x^2/4$，在 $x>2$ 为 $1$。均值位于支集内，但不在中点，因为密度对较大值赋予更高权重。

$[0,\infty)$ 上的反常积分是极限 $\lim_{T\to\infty}\int_0^T$。对指数密度 $p(t)=\lambda e^{-\lambda t}$、$t\ge0$、$\lambda>0$，该极限为 $1$。其尾概率为 $e^{-\lambda s}$，其中 $s\ge0$；利用例 4 和极限 $Te^{-\lambda T}\to0$，均值为 $1/\lambda$。不能把无穷大当作普通端点来计算反常积分。

3.7 分层练习

基础

1. 计算 $\int_1^3(2x+1)\,dx$，并对原函数进行导数检查。
2. 求 $d/dx\,[\int_0^{x^2}\cos t\,dt]$。
3. 变化率为 $r(t)=4-t$，时间范围为 $0\le t\le6$。求其净积分与绝对累积总量。

核心

4. 用换元计算 $\int_0^1 3x^2e^{x^3}\,dx$，包括变换后的积分界。
5. 用分部积分计算 $\int_0^1 xe^x\,dx$。
6. 求 $[0,2]$ 上 $y=x$ 与 $y=x^3$ 之间的面积。
7. 设 $p(x)=k x(2-x)$ 在 $[0,2]$ 上成立，其余地方为零。求 $k$、$\Pr(X\le1)$ 和 $E[X]$。

综合

8. 对练习 7 的密度，求 $E[X^2]$ 和方差，检查方差非负。
9. 对参数为 $\lambda>0$ 的指数密度，用条件概率和积分推导 $\Pr(X>s+t\mid X>s)=\Pr(X>t)$（$s,t\ge0$），并说明条件概率为何有定义。
10. 学生将 $[0,1]$ 上非负函数积分得到 $1.4$，并称其为概率。说明缺少什么条件。若函数为 $q(x)=3x^2+1$，将它归一化为 $[0,1]$ 上的密度，并求 $[0,1/2]$ 的概率。

3.8 完整解答

1. 原函数为 $x^2+x$，其导数为 $2x+1$。定积分为 $(9+3)-(1+1)=10$。
2. 先用微积分基本定理再用链式法则，得到 $2x\cos(x^2)$。
3. 净积分为 $[4t-t^2/2]_0^6=6$。在 $4$ 处分割绝对值积分：第一部分为 $8$，第二部分为 $2$，总计 $10$。
4. 令 $u=x^3$，则 $du=3x^2dx$，积分界仍为 $0$ 和 $1$。积分为 $\int_0^1e^udu=e-1$。
5. 取 $u=x$、$dv=e^xdx$，得到 $[xe^x]_0^1-\int_0^1e^xdx=e-(e-1)=1$。
6. 差 $x-x^3$ 在 $(0,1)$ 为正，在 $(1,2)$ 为负。面积为 $\int_0^1(x-x^3)dx+\int_1^2(x^3-x)dx=1/4+9/4=5/2$。
7. $\int_0^2x(2-x)dx=[x^2-x^3/3]_0^2=4/3$，所以 $k=3/4$。至 $1$ 的概率为 $(3/4)(1-1/3)=1/2$，均值为 $(3/4)\int_0^2(2x^2-x^3)dx=(3/4)(16/3-4)=1$。
8. $E[X^2]=(3/4)\int_0^2(2x^3-x^4)dx=(3/4)(8-32/5)=6/5$，方差为 $6/5-1^2=1/5>0$。
9. 尾积分为 $\Pr(X>u)=e^{-\lambda u}$。由于 $\{X>s+t\}\subseteq\{X>s\}$，条件概率为 $e^{-\lambda(s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}=\Pr(X>t)$。对每个有限 $s\ge0$，分母都为正。
10. 只有非负性不够；密度在支集上的总积分必须为 $1$。这里 $\int_0^1q(x)dx=[x^3+x]_0^1=2$，故 $p(x)=(3x^2+1)/2$ 在 $[0,1]$ 上成立，其他地方为零。至 $1/2$ 的概率为 $\frac12[(1/2)^3+1/2]=5/16$。

总结与后续联系

积分是和的极限，应结合单位和符号解释。微积分基本定理联系累积与导数；换元逆转链式法则，分部积分逆转乘积法则。无符号面积需要绝对值或正确的符号分段。密度必须非负且归一化，概率来自积分而非密度高度。

先修联系。 连续性支持可积性和微积分基本定理；乘积法则与链式法则支持两种主要积分技巧；对数和指数极限支持反常积分。常微分方程和更广泛的概率主题需要后续章节。