建模：单位、变化率与全局决策

建模目标与步骤

应用导数前，先将问题转化为变量、单位、定义域和关系式。然后区分瞬时变化率与有限变化，检查端点或物理停止条件，并验证模型答案是否符合假设。下面使用假设性的物理、工程和经济例子。

可靠的步骤是：命名量及其单位；说明理想化假设；确定允许的定义域；推导关系式；在变量仍然变化时求导；求解相关方程；检查所有候选点和边界；结合单位解释结果。代数上正确的导数不能修复错误的关系式或不可能的定义域。

1. 停止距离与物理时间区间

假设物体沿直线运动，初速度为 $v_0>0$，恒定加速度为 $-a$，其中 $a>0$。以秒计时间，以米每秒计速度，以米每平方秒计 $a$。速度为 $v(t)=v_0-at$，相对于起点的位移为

$$s(t)=v_0t-\frac12at^2.$$

停止时间为 $t_*=v_0/a$。如果模型描述的是刹车至静止，而非之后的反向运动，物理定义域便是 $0\le t\le t_*$。在这个区间内速度非负，故路程等于位移。代入得到

$$s(t_*)=\frac{v_0^2}{2a}.$$

单位为 $(\text{metres/second})^2/(\text{metres/second}^2)=\text{metres}$，符合要求。固定减速度时，初速度加倍使距离变为四倍；按速度作线性外推会出错。停止区间的平均速度是距离除以经过的时间，即 $v_0/2$，而不是起点或终点的瞬时速度。

允许同一个二次模型用于 $t>t_*$ 时，速度变负，位置减小。这是在恒定负加速度下数学上一致的延拓，却不是同一个“刹车至停止”的物理实验。定义域承载了停止假设。

2. 工程优化：证明全局最大值

一张正方形薄片的边长为 $S>0$。从四个角各剪去边长为 $x$ 的正方形，折成无盖盒。高度为 $x$，底面每边为 $S-2x$，因此

$$V(x)=x(S-2x)^2,\qquad0\le x\le S/2.$$

端点对应体积为零的退化盒子；纳入端点便得到连续目标函数的紧区间。其导数因式分解为 $V'(x)=(S-2x)(S-6x)$。唯一的内部驻点候选是 $x=S/6$；另一根 $S/2$ 已是列出的端点。当 $0\le x<S/6$ 时导数为正，当 $S/6<x<S/2$ 时导数为负。比较端点值可证明全局最大值为

$$V_{\max}=\frac{2S^3}{27},\qquad x=\frac S6.$$

如果要求盒子非退化，采用开区间 $0<x<S/2$，最大值仍然相同，因为最大点仍被允许。在其他问题中，端点最优值可能因开区间而消失；不能仅由导数等于零推断最大值存在。

缩放规律也能检验模型：每个长度乘以 $k>0$，最优剪口边长乘以 $k$，最大体积乘以 $k^3$。若公式像面积一样缩放，便说明可能遗漏了高度或量纲错误。

3. 相关变化率：先求导，再代入时刻

一架刚性梯子的固定长度为 $L>0$，梯脚距墙 $x(t)$，梯顶高度为 $y(t)$，保持接触且 $x,y\ge0$。它们满足 $x^2+y^2=L^2$。在某时刻 $y>0$，梯脚以速度 $x'=v>0$ 向外移动，则

$$2xx'+2yy'=0,\qquad y'=-\frac{x}{y}v.$$

负号表示梯顶向下移动。必须在 $x,y$ 仍为变量时求导；若求导前就代入该时刻的常数，会抹去变化率。因为 $x/y$ 无量纲，单位仍是米每秒。

公式不能在 $y=0$ 处计算。在理想化的梯脚恒速模型下，梯顶接近地面时这一速度的绝对值增大；但实际接触或运动假设可能在达到奇异极限之前失效。分母趋于零提示我们重新检查模型，而不是说明该处存在有限的物理速度。

对于满高 $H>0$、顶面半径 $R>0$ 的圆锥形水箱，相似截面给出水深 $h$ 时的水面半径 $r=(R/H)h$。因此

$$V=\frac{\pi R^2}{3H^2}h^3.$$

设恒定流入量为 $Q>0$ 且无渗漏，$V'=Q$，故当 $h>0$ 时，

$$h'=\frac{QH^2}{\pi R^2h^2}.$$

从空箱开始，到水箱注满为止，精确水深为 $h(t)=[3QH^2t/(\pi R^2)]^{1/3}$。零时刻的右侧斜率为无穷大：理想锥尖的截面积为零。有限的体积流入率不一定产生有限的初始水深变化率。正水深公式并未证明空箱时存在有限导数。

4. 边际量、平均量与实际增量不同

考虑假设的连续产量 $q\ge0$，成本为 $C(q)=F+cq+dq^2$，其中 $F,c,d\ge0$。成本以货币单位计，$q$ 以产品单位计，$c$ 的单位是每产品单位的货币量，$d$ 的单位是每平方产品单位的货币量。边际成本为 $C'(q)=c+2dq$，当 $q>0$ 时平均成本为 $C(q)/q$，实际有限成本增量为 $C(q+\Delta q)-C(q)$，其中可行变化须满足 $q+\Delta q\ge0$。

对于这个二次函数，

$$C(q+\Delta q)-C(q)=C'(q)\Delta q+d(\Delta q)^2.$$

边际近似有精确的二次余项。单独的导数并不是增加整整一个单位的成本；但若一个单位的变化相对于模型尺度很小，它的数值可以近似该增量。平均成本含有固定项 $F/q$，回答的是另一个问题。

假设单价服从需求模型 $p(q)=A-Bq$，其中 $A>0,B>0$；价格非负要求 $q\le A/B$。若产能为 $Q\ge0$，可行域为 $0\le q\le L=\min(Q,A/B)$。收入为 $q p(q)$，扣除已经承诺的固定成本后，利润为

$$P(q)=(A-c)q-(B+d)q^2-F.$$

这是严格凹函数。无约束驻点为 $q_*=(A-c)/[2(B+d)]$。约束下的最大化点是 $[0,L]$ 中最接近 $q_*$ 的点：顶点为负时取零；顶点超过 $L$ 时取 $L$；否则取顶点。可由导数符号或配方得出。已承诺的固定成本改变利润值，却不改变最大化产量。若停产可以避免该成本，那么与停产选项比较就是另一个模型，必须另行说明。

5. 连续建模不能取消离散可行性

若只能生产完整件数，可行选择是 $[0,L]$ 中的整数。对上述严格凹二次函数，配方显示利润随着与实数顶点距离的平方增大而下降。因此应比较最接近顶点的可行整数，必要时在端点截断。一律向上取整，或把实数驻点当作可行数量，都没有数学依据。即使连续最大点唯一，两个等距离整数仍可能并列。

误差估计也有同样的区别。球的半径相对变化 $\varepsilon$，其中 $1+\varepsilon>0$，则体积相对变化为 $(1+\varepsilon)^3-1=3\varepsilon+3\varepsilon^2+\varepsilon^3$。微分近似为 $3\varepsilon$，其相对误差余项的绝对值至多为 $3\varepsilon^2+|\varepsilon|^3$。导数给出局部模型；精确恒等式或泰勒界量化有限变化下的精度。

分层建模与解释练习

1. 物理与缩放。 推导停止时间和停止距离公式，检验单位，并解释在该模型中路程为什么只在指定区间等于位移。
2. 全局优化。 证明无盖盒的最大值是全局最大值，列出所有边界候选，并说明不允许零体积端点形状时有何变化。
3. 变化率与奇异性。 推导梯子变化率，说明试图代入 $y=0$ 时哪一代数假设失效。
4. 坐标变化率。 从恒定流入量推导圆锥水箱的水深规律，解释初始水深斜率无穷大，而不推断体积流入率无穷大。
5. 经济量。 对给定假设成本／需求模型，解释固定成本、产能和非负价格如何影响连续最优产量。区分已承诺成本与停产可避免的成本。
6. 离散决策与误差。 证明凹二次函数在整数上的最大点必为最接近其实数顶点的可行整数之一。为什么没有误差界或精确比较，微分近似不能确认哪个整数获胜？

完整解答

1. 令 $v_0-at=0$，得到 $t_*=v_0/a$。对速度积分并令初位移为零，得到 $s(t)=v_0t-at^2/2$ 和 $s(t_*)=v_0^2/(2a)$。时间单位是秒，距离单位是米。停止前速度非负，所以 $\int|v|=\int v$；继续该模型越过停止时刻后速度为负，绝对路程不再等于有符号位移。
2. 在 $[0,S/2]$ 上，连续性保证最大值可达到。端点值为零；导数的根是 $S/6$ 和端点 $S/2$。内部值为 $2S^3/27>0$，由导数符号或端点比较可知它是全局最大值。去除退化端点仍保留此最大点。变化的只有最小值：在开区间上，下确界零不被取到。
3. 对 $x^2+y^2=L^2$ 求导得 $xx'+yy'=0$。当 $y>0$ 时，解得 $y'=-(x/y)x'$。在 $y=0$ 处除法无效；若 $x=L>0$ 且 $x'>0$，求导恒等式会要求 $Lx'=0$，这与上述假设以及有限的 $y'$ 不相容。理想接触运动不能以相同的可微变化率条件延续至该处。
4. 相似性给出 $r/h=R/H$，因此得到三次体积公式。从空箱以恒定流入量注水，得到 $V=Qt$ 及注满前上述立方根水深。其导数与正数倍的 $t^{-2/3}$ 同阶，在 $t\downarrow0$ 时无界。体积仍以有限速率 $Q$ 线性增长；奇异性来自在锥尖截面积为零附近，将体积转换成高度。
5. 配方得到顶点 $q_*=(A-c)/[2(B+d)]$。将它截到 $[0,\min(Q,A/B)]$，得到可行的连续最大化点。已承诺的 $F$ 从每个产量的利润中减去相同数值，所以不改变顶点，但会改变所得利润。若停产选项可避免 $F$，必须把它作为额外选项比较，而不能从这个已承诺成本目标中推断。
6. 将二次函数写为 $P(q_*)-K(q-q_*)^2$，其中 $K>0$。在可行整数上最大化恰好等价于最小化它们到顶点的距离，因此截断后的向下／向上取整候选足够，等距离时并列。微分近似省略了余项，可能把接近的候选排序错误。本例中精确二次式允许精确比较；其他模型中，要确认排序，严格误差界必须小于所称的优势。

总结与术语

物理定义域说明模型假设适用的范围。相关变化率对共同变化的量之间的关系求导。边际量是导数，并不自动等于有限增量或平均量。约束最优值既比较可行边界也比较驻点，而离散最优值可能需要额外的整数比较。单位和解释是微积分解答的一部分，并非符号计算后的装饰。