本章骨架 · 行列式

若 $A=[a_{ij}]$ 是 $n\ge2$ 阶方阵，对每个固定的行指标 $i$，有

$$\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$$

相应的任意列展开是：对每个固定的列指标 $j$，

$$\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$$

因此，第一行公式是递归定义；任意行或任意列公式则是说明展开位置可以改变、但行列式不变的定理。以下结论按此定理使用。完整证明见 MATH1550：从递归行列式证明任意余因子展开。先读本节的递归定义，再按三步跟读该证明：将 Leibniz 排列和按 $\sigma(1)$ 分组，得到相同基例和第一行递推式，由归纳确认两种定义一致；删除 $\sigma(i)=j$ 使符号改变 $(-1)^{i+j}$；重新分组得到任意行或列展开。这不预设下文的换行或乘积法则。完成这座桥梁后，回到下面的零行和三角矩阵结论。

如果方阵的一整行或一整列的每个项都是零，则它的行列式为零。

设 $C$ 是 $n\ge2$ 阶方阵。若第 $k$ 行除 $c_{k\ell}$ 外都为零，则

$$\det(C)=c_{k\ell}(-1)^{k+\ell}\det\bigl(C(k\mid\ell)\bigr)$$

若第 $\ell$ 列除 $c_{k\ell}$ 外都为零，也有同一公式。即使 $c_{k\ell}=0$，这个表述仍然成立。

若 $T$ 是上三角或下三角矩阵，则

$$\det(T)=t_{11}t_{22}\cdots t_{nn}$$

固定除第 $p$ 行外的每一行。若新第 $p$ 行是 $\alpha u+\beta v$，则

$$\det(\text{相同其他各行,但第 }p\text{ 行为 }\alpha u+\beta v) =\alpha\det(\text{相同其他各行,但第 }p\text{ 行为 }u) +\beta\det(\text{相同其他各行,但第 }p\text{ 行为 }v)$$

若一个方阵有两行完全相同，则它的行列式等于 $0$。

对 $n\times n$ 矩阵 $A$，其中 $1\le p,q\le n$，凡出现两条行时均要求 $p\ne q$：

若 $B$ 由 $A$ 交换第 $p$、$q$ 行得到，则 $\det(B)=-\det(A)$；

若 $B$ 由 $A$ 把第 $p$ 行乘以 $\beta$ 得到，则 $\det(B)=\beta\det(A)$，包括 $\beta=0$ 的情形；

若 $p\ne q$，且 $B$ 由 $A$ 作 $R_q\leftarrow R_q+\alpha R_p$ 得到，则 $\det(B)=\det(A)$。

若一串基本行变换把 $A$ 变成 $U$，其中有 $s$ 次换行，并把行分别乘以非零数 $\beta_1,\ldots,\beta_q$，则

$$\det(U)=(-1)^s\left(\prod_{j=1}^{q}\beta_j\right)\det(A)$$

因此

$$\det(A)=\frac{\det(U)}{(-1)^s\prod_{j=1}^{q}\beta_j}$$

行替换的倍数是 $1$，所以不出现在分母中。

若 $A$、$B$ 是同尺寸的方阵，则

$$\det(AB)=\det(A)\det(B)$$

对方阵 $A$，

$$A\text{ 可逆}\quad\Longleftrightarrow\quad\det(A)\ne0$$

若 $A$ 可逆，则

$$\det(A^{-1})=\frac1{\det(A)}$$

对任意方阵 $A$ 和正整数 $m$，

$$\det(A^m)=(\det A)^m$$

若 $A$ 可逆，同一公式对所有整数 $m$（包括负整数）成立。

对每个方阵 $A$，

$$\det(A^T)=\det(A).$$

设 $A=[a_{ij}]$ 是 $n\ge2$ 阶方阵，固定列指标 $j$。记 $M_{ij}$ 为子式，$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为余因子，则

$$\det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}.$$

等价地，

$$\det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.$$

设 $B$ 是由方阵 $A$ 做一次基本列变换得到。

交换两个不同的列 $p$ 与 $q$，行列式乘上 $-1$。

把第 $p$ 列乘上 $\beta$，行列式也乘上 $\beta$；若变换要可逆，要求 $\beta\ne0$。

若 $p\ne q$，把第 $q$ 列改成 $C_q+cC_p$，行列式不变。

对每个方阵 $A$，包括奇异矩阵，

$$A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)I.$$

若 $\det(A)\neq0$，则 $A$ 可逆，而且

$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).$$

令 $A\in M_n(\mathbb{R})$ 满足 $\det(A)\ne0$，并令 $b\in\mathbb{R}^n$。对每个 $j$，只把 $A$ 的第 $j$ 列改成 $b$，得到矩阵 $M_j$。

若 $x$ 是系统

$$Ax=b$$

的唯一解，则

$$x_j=\frac{\det(M_j)}{\det(A)}.$$