微分、鏈式法則與隱式曲線

溫度、壓力和幾何約束依賴多個坐標。偏導數分離單個坐標的影響，但運動的觀察者感受到它們的綜合影響。全導數與鏈式法則正確組合這些變化。隱函數說明何時能在局部從約束中解出一個坐標。

1 極限要求所有趨近方式

對 $f:U\subset\mathbb R^n\to\mathbb R$，假設 $a$ 是 $U\setminus\{a\}$ 的聚點。在 $a$ 處的極限要求當在定義域內 $0<\|x-a\|\to0$ 時，$f(x)$ 趨於同一個數。不同路徑的極限不同可否定極限存在；少數路徑一致卻不能證明存在。

對零點外的 $f(x,y)=xy/(x^2+y^2)$，兩坐標軸給出極限零，而 $y=x$ 給出 $1/2$，故極限不存在。相比之下，

$$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le|y|\le\sqrt{x^2+y^2},$$

該界適用於所有趨近方式，證明原點極限為零。將函數在原點定義為零可使其連續，但不自動使其可微。

2 全導數與切平面

對這裏完整的 $\mathbb R^n$ 導數，假設 $a$ 是定義域的內點，且 $f$ 在 $a$ 的某個開鄰域上有定義。在 $a$ 處可微指存在一個線性映射 $L$，使 $f(a+h)=f(a)+Lh+o(\|h\|)$。對標量輸出，$Lh=\nabla f(a)\cdot h$。偏導數在鄰域中連續是充分條件：將增量分為坐標步驟，應用一元中值定理，並由連續性控制中間點的導數值。

$z=f(x,y)$ 在 $(a,b,f(a,b))$ 處的切平面為

$$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).$$

單位方向 $u$ 的方向導數為 $\nabla f\cdot u$。對運動點 $r(t)$，鏈式法則給出 $(f\circ r)'=\nabla f(r(t))\cdot r'(t)$；對向量映射則是雅可比矩陣相乘。其證明將一個局部線性近似代入另一個，內層增量是 $O(\|h\|)$，故複合餘項仍為 $o(\|h\|)$。

例。 令 $T(x,y,z)=x^2+y^2+2z$、$r(t)=(\cos t,\sin t,t)$。則 $T(r(t))=1+2t$，變化率為 2。梯度方法給出 $(2\cos t,2\sin t,2)\cdot(-\sin t,\cos t,1)=2$。坐標運動可以使兩個表面上的溫度影響相互抵消。

3 精確的隱函數結果

平面曲線定理。 假設 $F$ 在 $(a,b)$ 附近為 $C^1$，$F(a,b)=0$ 且 $F_y(a,b)\ne0$。則在適當鄰域中，$F(x,y)=0$ 的解恰為 $y=g(x)$，其中存在唯一的 $C^1$ 函數，滿足 $g(a)=b$，且

$$g'(x)=-\frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}.$$

證明。 必要時改變符號，由連續性在一個小矩形上有 $F_y\ge m>0$。在其中央竪直線上，由中值定理，$b$ 上下稍近的函數值異號。連續性使當 $x$ 接近 $a$ 時異號保持。介值定理為每個這樣的 $x$ 給出中間的一個根，而 $y$ 方向嚴格遞增使其唯一。對附近的 $x,x'$，在 $y$ 方向應用中值定理得

$$m|g(x')-g(x)|\le|F(x',g(x))-F(x,g(x))|.$$

右邊趨於零，證明連續；$F_x$ 有界使 $g(x')-g(x)=O(|x'-x|)$。在 $(x,g(x))$ 對位移 $(h,g(x+h)-g(x))$ 使用 $F$ 的可微展開，現在得到

$$0=F_xh+F_y[g(x+h)-g(x)]+o(|h|).$$

除以 $h$，使用 $F_y\ne0$ 解出導數。導數公式的連續性證明 $g\in C^1$。$\square$

對於 $x^2+y^2=1$，在 $(0,1)$ 附近定理給出 $y=\sqrt{1-x^2}$、$g'=-x/y$。在 $(1,0)$ 附近 $F_y$ 條件失效，該圓在那裡不是單個可微的 $y$ 圖像；由於 $F_x\ne0$，可改寫為 $x$ 圖像。一個充分條件失敗並不普遍意味著不存在任何隱式表示。

導數規律背後的誤差估計

對連續偏導數判據，在 $a$ 附近取閉包仍在定義域內的小開長方體。從 $a$ 到 $a+h$ 每次只改變一個坐標。一元中值定理將第 $j$ 步寫成 $f_{x_j}(a+\theta_j)h_j$，其中 $\|\theta_j\|\le\|h\|$。減去 $\sum_jf_{x_j}(a)h_j$ 後，只要各偏導數與其在 $a$ 的值之差不超過 $\varepsilon$，誤差便不超過 $\varepsilon\sum_j|h_j|\le\varepsilon\sqrt n\|h\|$。這就在所有方向上一致證明了所需的小 o 估計。向量輸出可逐分量處理。

對鏈式法則，寫 $G(a+h)=G(a)+Bh+r(h)$，其中 $r(h)=o(\|h\|)$；再寫 $F(b+k)=F(b)+Ak+s(k)$，其中 $s(k)=o(\|k\|)$、$b=G(a)$。於是 $k=Bh+r(h)=O(\|h\|)$，複合誤差 $Ar(h)+s(k)$ 為 $o(\|h\|)$。若 $k=0$，第二項恰為零；否則 $\|s(k)\|/\|k\|$ 乘以有界的 $\|k\|/\|h\|$ 趨於零。因此導數按此次序為 $AB$。

平面隱函數證明中的小矩形可選為閉矩形，且位於原 $C^1$ 鄰域內部。緊性給出 $F_x$ 的界，$F_y$ 的正下界在用到的每條竪直線段上都成立。縮小水平區間可保留上下邊界的異號。這些選擇使證明中的估計一致成立，而無須二階導數。

4 分級練習

E1 基礎。 求 $z=x^2y+e^y$ 在 $(1,0,1)$ 處的切平面。

E2 鏈式法則。 令 $u=x+y$、$v=x-y$ 和 $f(u,v)=u^2+3v^2$，計算 $\partial f/\partial x$ 和 $\partial f/\partial y$。

E3 隱式導數。 在 $(1,1)$ 附近，論證可從 $x^2+xy+y^2=3$ 解出 $y$，並求該點的 $dy/dx$。

E4 局限。 對 $F(x,y)=y^2-x^2$，解釋為甚麼定理不能在零點附近給出唯一的 $y$ 圖像，並描述實際解集。

5 完整解答

S1. $f_x=2xy$、$f_y=x^2+e^y$，故在 $(1,0)$ 處分別為 0 和 2。平面為 $z=1+2y$。

S2. $f_x=2u+6v=8x-4y$，$f_y=2u-6v=-4x+8y$。直接展開為 $4x^2-4xy+4y^2$，可驗證兩者。

S3. 該點 $F_y=x+2y=3\ne0$，故定理適用。$F_x=2x+y=3$，所以斜率為 $-1$。

S4. $F_y(0,0)=0$。解是兩條直線 $y=x$ 和 $y=-x$ 的並，每個充分小的非零 $x$ 都給出兩個不同的 $y$ 值。因此沒有單個圖像能描述附近所有解。

總結

多元極限需要考慮所有趨近方式；可微性需要一個一致的線性近似。雅可比矩陣相乘組合坐標變化。約束中的非零偏導數給出局部隱式圖像，其導數公式的有效性來自存在性和唯一性，而非單純的形式除法。