工具箱、符號計算與可信的二維／三維圖形

先修內容為 L05–L07、初等微積分，以及 L02 和 L04。配套文件為 labs/lab08_fitting_grid.m、labs/lab08_symbolic.m、labs/inspect_capabilities.m 和 labs/render_math2221_figures.m。

1. 工具箱是一項能力依賴，不是數學依據

基礎 MATLAB 提供許多數值和繪圖操作。工具箱增加專門的函數與數據類型。名稱相似的第三方包或 Octave 包未必具有相同接口、算法、許可證或輸出。“採用 MATLAB 語法編寫”和“在所需 MATLAB 環境中成功執行”是不同的結論。

實驗前可使用能力表：

“工具箱”這一寬泛術語本身不指定必須安裝的產品清單，也不授權安裝。應確定依賴、檢查已有能力、在獲得授權且可用時運行小型已知答案測試，並保留可靠的替代方案或受阻狀態。

2. 已安裝、可解析、獲許可和可工作是不同狀態

version 標識當前運行環境；ver 提供已安裝產品／版本信息；which name -all 有助於發現遮蔽目標函數的同名本地函數。避免將學生文件命名為 sum.m、polyfit.m 或 sym.m；遮蔽可能在不改變其他腳本文本的情況下改變其行為。參見官方 ver 和 which 參考。

路徑上找到函數，並不能證明其許可證可檢出或其引擎能初始化。在 MATLAB 中，license('test',feature) 檢查某功能許可證是否存在，但它不是完整的功能測試；後續操作仍可能失敗。不要公開原始許可證報告：它可能暴露與數學可複現性無關的標識。只記錄需要的運行環境／產品版本和通過／失敗狀態。參見 license。

配套能力函數記錄安全的產品名稱／版本以及相關函數是否可解析；它不激活產品、不安裝包，也不更改許可證。可選符號實驗針對 MATLAB；若檢測到 Octave，則返回 skipped。在 MATLAB 中僅當 sym 可解析時才嘗試已知答案計算；結果狀態分別為 skipped、passed 或 failed。不可用的可選示例絕不能計作通過的計算。

3. 曲線擬合接口例題：系數有順序

與 L02 和 L07 相同的三個觀測給出最小二乘直線 $y=7/6+t/2$。多項式擬合接口通常按冪次遞減存儲系數，而不是截距在前：

t = [0;1;2]; y = [1;2;2];
p = polyfit(t,y,1);
yhat = polyval(p,t);
assert(norm(p-[1/2 7/6],inf) < 1e-12);
assert(norm(yhat-(7/6+t/2),inf) < 1e-12);

這裏 p(1) 是斜率，p(2) 是截距。矩陣解 X\y 搭配 X=[ones(size(t)),t] 時則先返回截距，因為矩陣欄按這個次序排列。系數順序不同，並不意味著擬合曲線有分歧。

官方 polyfit 參考說明了降冪系數和最小二乘擬合。這裏使用簡單的單輸出接口；中心化／縮放選項和輸出約定應按實際版本檢查，而不能假設永不改變。提高多項式次數可能降低訓練殘差，卻未必改善預測。重複或過於密集的橫坐標也可能使系數恢復病態。應檢查秩、殘差、尺度和有意義的獨立測試；平滑曲線不足以證明結果可靠。

診斷例題。 直線的殘差平方和為 $1/6$。二次多項式 $1+(3/2)t-(1/2)t^2$ 精確插過三個觀測，因此訓練殘差為零。在 $t=4$ 處，它預測負一，而直線預測 $19/6$。僅憑這些數據不能確定哪種外推合適。精確插值並不能證明底層過程的模型。

4. 求值前符號輸入必須精確

符號計算表示表達式，而不只是浮點近似。要構造有理數十分之一，應使用 sym(1)/10 或精確的文本有理數，而不是先作近似數值計算，再要求轉換器重建原本意圖。對於超出雙精度連續整數範圍的大整數，應在轉換前使用精確文本表示。參見官方 sym 參考。

一個 MATLAB Symbolic Math Toolbox 例子：

syms x real
f = x^3 - 2*x + sym(1)/3;
df = diff(f,x);
assert(isequal(simplify(df-(3*x^2-2)),sym(0)));
I = int(x^2,x,0,1);
assert(isequal(I,sym(1)/3));
roots_exact = solve(x^2-2==0,x);
assert(numel(roots_exact)==2);
assert(all(isAlways(roots_exact.^2==2)));
assert(isAlways(roots_exact(1)~=roots_exact(2)));

導數為 $3x^2-2$，積分為 $1/3$，方程的實數解為 $\pm\sqrt2$。根的順序沒有規定；應檢驗數學性質和個數，而不是顯示順序。官方接口：diff、int、solve。

這些操作不能免除定義域推理。syms x real 聲明實數性，而不是正性。對實數 $x$，$\sqrt{x^2}=|x|$；替換為 $x$ 需要 $x\ge0$。將 $(x^2-1)/(x-1)$ 約去後得到 $x+1$，只在原定義域 $x\ne1$ 上成立。應在化簡表達式旁保留排除值列表。L04 深入討論這些邏輯邊界。

將精確結果轉換為浮點近似時，應標明該階段。$\sqrt2$ 的小數近似可用於數值比較，但不再是其精確代數表示。顯示更多數字不能修復不準確的輸入假設。

5. 二維曲線與三維曲線是採樣映射

對圖像 $y=f(x)$，折線圖採樣 $(x,f(x))$。對空間參數曲線，必須在同一組參數值處採樣三個坐標。考慮螺旋線

$$\gamma(t)=(\cos t,\sin t,t/(2\pi)),\qquad0\le t\le4\pi.$$

其高度從零上升到二，在 $xy$ 平面上的投影是單位圓。繪制方法如下：

theta = linspace(0,4*pi,401);
hx = cos(theta); hy = sin(theta); hz = theta/(2*pi);
plot3(hx,hy,hz,'k-');
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('z');
title('Two-turn unit-radius helix'); grid on; axis equal;

plot3 連接樣本點，並不推斷精確曲線。徑向不變量 $x^2+y^2=1$、端點高度和高度遞增性都提供非視覺檢查。axis equal 使相等的坐標距離具有相等的顯示長度；透視投影仍可能隱藏深度，因此應檢查多個視角或包含坐標平面投影。plot3 參考說明了坐標接口。

配套渲染函數與不涉及圖形的核心運行器分離，因此不能將缺失圖形後端誤認為數值計算失敗。

6. 曲面需要二維坐標網格

對 $z=f(x,y)=x^2-y^2$ 在 $[-1,1]\times[-2,2]$ 上構造網格：

x = linspace(-1,1,5);
y = linspace(-2,2,9);
[X,Y] = meshgrid(x,y);
Z = X.^2-Y.^2;
assert(isequal(size(Z),[9 5]));
assert(abs(Z(5,3)) < 1e-12);

行對應九個 $y$ 值，欄對應五個 $x$ 值：$X(i,j)=x_j$、$Y(i,j)=y_i$。因此 $Z(i,j)$ 是該坐標對處的高度。非方形網格比方形網格更容易發現交換軸的錯誤。官方 meshgrid 參考說明了這一約定。

原點高度為零。沿 $y=0$，高度 $x^2\ge0$；沿 $x=0$，高度 $-y^2\le0$。因此原點是鞍點，不是局部極大或極小點：任意接近它的地方都有正、負高度。這是與繪圖分辨率無關的精確證明。在該矩形上，最小值為負四，在 $(0,\pm2)$ 取得；最大值為一，在 $(\pm1,0)$ 取得，因為 $x^2\in[0,1]$ 和 $y^2\in[0,4]$ 獨立變化。

要繪制互補視圖：

surf(X,Y,Z);
xlabel('x'); ylabel('y'); zlabel('x^2-y^2');
title('Saddle surface on a declared rectangle'); colorbar;
% In a separate figure:
contour(X,Y,Z,[-3 -1 0 1]);
xlabel('x'); ylabel('y'); axis equal; grid on;

曲面強調高度；等高線顯示水平集，不受透視遮擋。顏色尺度可能重複高度已表示的信息，但仍需要數值圖例。網格表示採樣單元，不能證明不存在奇點或狹窄特徵。參見 surf。

7. 設計可信的可視化報告

圖形應標識數學對象、定義域、採樣點數、單位、排除部分和視覺編碼。用純文本說明讀者應學到甚麼。例如對該曲面：“原點是鞍點；$x$ 軸截面上升，$y$ 軸截面下降。”對螺旋線：“單位半徑的兩圈螺旋使高度從零升至二。”即使沒有顏色或渲染圖像，這些說明仍可訪問。

對於擬合直線，用標記顯示原始觀測，用線顯示擬合；不要僅靠兩種近乎相同的顏色區分。說明外推區域。對 $1/x$，像 L04 那樣將定義域的兩個連通部分分開。對具有孔洞或排除集的三維曲面，應明確編碼排除部分，而不是跨越它連線。

保持定義域和數學函數不變，細化採樣網格。兩個網格一致是有用證據，但不是沒有遺漏特徵的普遍證明。導出圖形需要另外檢查清晰度、裁切和圖注。

8. 分層練習

P01 — 基礎。 區分已安裝產品、路徑可解析的函數、許可證檢查和成功的已知答案操作。

P02 — 核心。 某腳本說“因為調用 polyfit，必須使用 Curve Fitting Toolbox”。糾正依賴聲明，並說明一種更有用的檢查。

P03 — 核心。 解釋為甚麼 polyfit(t,y,1) 給出 [1/2,7/6]，而 L07 的設計矩陣給出 [7/6;1/2]。

P04 — 核心。 在三個數據點驗證 §3 的二次插值多項式，並計算它在四處的外推值，與直線比較。

P05 — 核心。 對 $x^3-2x+1/3$ 求導，計算 $x^2$ 從零到一的積分，並精確求解 $x^2=2$。給出不依賴順序的軟件檢查。

P06 — 診斷。 某符號例程在正性假設下將 $\sqrt{x^2}$ 化簡為 $x$。為甚麼這個結果不是 $\mathbb R$ 上無條件成立的恆等式？

P07 — 核心。 若有五個 $x$ 節點和九個 $y$ 節點，說明 meshgrid 陣列尺寸以及 $X(i,j)$、$Y(i,j)$ 和 $Z(i,j)$ 的公式。

P08 — 證明。 證明原點是 $x^2-y^2$ 的鞍點，並求其在 §6 矩形上的極值。

P09 — 核心。 給出螺旋線的三個精確不變量或端點檢查。解釋為甚麼看似平坦的投影不能證明曲線位於平面內。

P10 — 結果判斷。 假設可選符號實驗被跳過、Python 參考檢查通過且沒有可用圖形後端。寫一段誠實的三句驗收說明。

9. 完整解答

P01. 安裝表示文件／產品存在；解析表示路徑選擇了哪個實現；許可證測試涉及許可是否可用；已知答案計算測試所選功能在該測試情形下是否實際工作。任何一種狀態本身都不蘊含後續全部階段或所有輸入都能工作。應保留不同狀態，不要壓成一個“可用”標誌。

P02. polyfit 是基礎 MATLAB 擬合接口，其本身不要求 Curve Fitting Toolbox。應檢查選用的實現、版本、輸入形狀、次數和已知答案擬合；實際使用的專門例程要單獨調查其產品依賴。不能僅根據英文“fit”猜測目錄或產品名。

P03. polyfit 按冪次遞減排列，所以直線系數先斜率後截距。X=[ones,t] 的常數欄在前，所以其解先截距後斜率。兩者都得到 $7/6+t/2$。比較向量前，應比較預測值或重排系數。

P04. 二次式在零處為一；在一處為 $1+3/2-1/2=2$；在二處為 $1+3-2=2$。在四處為 $1+6-8=-1$。直線給出 $7/6+2=19/6$。不同外推與相同觀測樣本並不矛盾。

P05. 導數為 $3x^2-2$，積分為 $[x^3/3]_0^1=1/3$，解為 $\{-\sqrt2,\sqrt2\}$。將計算結果與預期導數／積分的差化簡到精確零。對根，檢查有兩個不同結果且每個的平方都等於二；不要假設返回順序。多項式為二次，所以兩個已驗證的不同根構成全部解。

P06. 正性給出 $|x|=x$。若無此條件，負值如負一給出 $\sqrt{x^2}=1\ne-1$。軟件假設限定定理的定義域；不能刪去假設而保留相同結論。

P07. 每個陣列都是 $9\times5$。公式為 $X(i,j)=x_j$、$Y(i,j)=y_i$、$Z(i,j)=x_j^2-y_i^2$。這個網格中原點位於第五行、第三欄。矩形尺寸有助於發現轉置錯誤。

P08. 沿 $(h,0)$ 且 $h$ 充分小非零時，值為 $h^2>0$；沿 $(0,h)$ 時為 $-h^2<0$，而原點值為零。因此不可能是局部極小值或極大值。由於 $0\le x^2\le1$ 且 $0\le y^2\le4$，所有值在負四和一之間。兩個界均在 §6 所述位置取得，因此是全局極值。

P09. 徑向恆等式為 $x^2+y^2=1$；端點高度為零和二；高度的導數為 $1/(2\pi)>0$，故高度遞增。投影移除一個坐標，可能將不同空間點壓到同一點。事實上，若某平麵包含整條螺旋線，就對所有 $t$ 有 $a\cos t+b\sin t+ct/(2\pi)=d$；比較 $t$ 和 $t+2\pi$ 迫使 $c=0$，再改變 $t$ 迫使 $a=b=0$，這不是平面方程。

P10. 對題設情景，可以寫：“選定的 Python 參考算術與不變量檢查已通過。MATLAB／Octave 源碼、可選 Symbolic Math Toolbox 計算和圖形渲染尚未執行，因此其運行／視覺驗收仍待進行。跳過的能力不計為通過的實驗。”每句話都標明瞭題設中的證據邊界。

10. 學習檢查

工具箱演示需要聲明產品邊界並作功能測試，不能假定其可用。符號結果保留定義域與精確性標籤。圖形保留坐標、採樣信息和非視覺不變量。只有這些條件可見時，軟件輸出才能支持數學推理。