泰勒誤差控制與最優值敏感性

只有瞭解所考慮變化範圍內的誤差，邊際近似才有用。同樣，某個價格下的最優決策不一定在新價格下仍然最優。泰勒界量化有限變化誤差；對最優性方程求導描述正則內部最優點如何移動。可行邊界則形成不同的狀態。

1 由曲率得到誤差界

若 $f\in C^2$ 在 $q$ 與 $q+h$ 之間的區間上，兩次使用微積分基本定理得到

$$f(q+h)=f(q)+f'(q)h+h^2\int_0^1(1-t)f''(q+th)dt.$$

推導時沿 $q+th$ 寫出函數並對其導數積分兩次。因此若整個區間上 $|f''|\le M$，則

$$|f(q+h)-f(q)-f'(q)h|\le\frac M2h^2.$$

若 $f''\ge0$，切線線性近似是下界，而不僅是接近的猜測；符號來自非負積分餘項。高階版本可通過重複積分或帶明確導數界的一元泰勒定理得到。

對成本模型 $C(q)=100+4q+0.02q^2$，$C''=0.04$，故增量 $h$ 下邊際估計的精確誤差為 $0.02h^2$。十單位變化的誤差為 2，不是一單位變化時的 0.02。導數是局部速率；在此模型中，計劃步長以平方方式影響誤差。

指數例子。 對 $f(q)=e^{0.1q}$，將 $q$ 從 0 增加 $h\in[0,1]$ 的線性估計為 $1+0.1h$。由於 $f''(q)=0.01e^{0.1q}$，誤差非負且至多為 $0.005e^{0.1}h^2$。這是指定區間上的界，不是僅由 $f''(0)$ 推斷的界。

2 彈性與精確對數變化

對正區間上的正 $C^1$ 函數 $f(q)$，彈性為 $E(q)=qf'(q)/f(q)$。鏈式法則給出 $d\log f/d\log q=E(q)$，因此精確有限變化恆等式為

$$\log\frac{f(q_1)}{f(q_0)}=\int_{q_0}^{q_1}\frac{E(q)}q\,dq.$$

若彈性恆為 $E_0$，積分得到在正的連通區間上 $f(q)=Kq^{E_0}$；反之該冪律具有恆定彈性。一階百分比近似將積分替換為 $E(q_0)(q_1-q_0)/q_0$，對大變化一般並不精確。

對 $f(q)=q^2$，$q$ 增加 10% 時 $f$ 增加 21%，不恰好是 20%。對數恆等式給出 $\log(f(q_1)/f(q_0))=2\log1.1$，等價於精確因子 $1.1^2$。

3 內部最優點的敏感性

考慮價格參數為 $p$ 的利潤 $\Pi(q,p)=pq-C(q)$。內部駐點滿足 $C'(q_*(p))=p$。若 $C\in C^2$ 且 $C''(q_*)>0$，局部隱函數定理給出可微的駐點分支及

$$\frac{dq_*}{dp}=\frac1{C''(q_*)}.$$

該公式由對駐點方程求導得到。正曲率使利潤局部凹，且選擇隨價格增加。若 $C$ 在整個可行區間嚴格凸，則內部駐點是該區間唯一的利潤最大點。局部導數公式本身不證明全局最優或持續可行。

在光滑的內部最大化分支上令 $V(p)=\Pi(q_*(p),p)$，鏈式法則給出

$$V'(p)=\Pi_q(q_*,p)q_*'(p)+\Pi_p(q_*,p)=q_*(p),$$

因為駐點的第一項為零。這是包絡計算：最優值的一階變化使用最優點處的參數效應，即使最優選擇本身也在移動。

4 邊界改變狀態

對 $C(q)=F+aq+bq^2$，其中 $b>0$、容量 $Q>0$ 且可行域為 $0\le q\le Q$，在該數學模型中，與價格無關的固定成本 $F$ 不影響最大化數量。配方或檢查導數得到

$$q_*(p)=\begin{cases}0,&p\le a,\\(p-a)/(2b),&a<p<a+2bQ,\\Q,&p\ge a+2bQ.\end{cases}$$

在內部狀態，$q_*'=1/(2b)$；在兩個飽和狀態中，$q_*'=0$。在轉折價格處，選擇函數連續但不可微。這裏最優值仍可微，其導數為 $q_*$，可直接分段求導驗證。不能將內部敏感性公式外推過產能邊界。

當 $a=4$、$b=0.1$、$Q=50$，價格 10 給出 $q_*=30$。價格小幅提高 0.2 時，只要仍處於內部，最優選擇移動 1；價格為 15 時產能約束已生效，相同提高不會改變選定數量。停產決策等固定成本解釋需要模型說明固定成本是否可避免；該業務規則並未由此目標函數單獨編碼。

5 分層練習

E1 基礎。 若產量增加五單位的整個範圍內 $|C''|\le0.6$，給出邊際近似誤差界。若 $C''\ge0$，還可得到甚麼符號信息？

E2 精確彈性。 對 $f(q)=3q^{-2}$，求彈性及 $q$ 增加 20% 時的精確相對變化。

E3 內部敏感性。 設 $C(q)=20+2q+q^2/2$，可行域 $q\ge0$、價格 $p>2$。求最優選擇、最優值及其導數。

E4 產能。 在 E3 中加入 $q\le4$。給出完整最優數量，指出無約束敏感性公式何時停止適用。

6 詳解

S1. 誤差的模至多為 $(0.6/2)5^2=7.5$ 成本單位。若曲率非負，實際成本增加至少等於初始邊際估計，因此誤差除了上界外也有已知的非負符號。

S2. $E=-2$。精確因子為 $1.2^{-2}=25/36$，相對變化為 $-11/36$，約 $-30.56\%$。一階估計 $-40\%$ 對此有限步長並不精確。

S3. $C'=2+q$，所以 $q_*=p-2$，當 $p>2$ 時可行。嚴格凸性給出唯一全局最大值。$V(p)=(p-2)^2/2-20$，故 $V'=p-2=q_*$，且 $q_*'=1$。

S4. 當 $p\le2$，最優選擇為 0；當 $2<p<6$，為 $p-2$；當 $p\ge6$，為 4。敏感性只在中間狀態為 1，外側為 0。在 2 和 6 處最優選擇的導數不存在，所以沒有跨越閾值都有效的單一內部導數公式。

總結

曲率界將局部邊際速率轉為受控的有限變化估計。彈性積分得到精確對數變化公式。最優性方程給出局部參數敏感性，而包絡計算描述最優值變化。外推任何內部公式之前，必須檢查可行邊界造成的狀態變化。