學習目標與準備

本章以極限、連續性和基礎微分（包括乘積法則與鏈式法則）為基礎。我們將聯繫變化率與累積總量，介紹定積分，發展換元與分部積分，並將積分應用於假設的連續概率模型。第 1 章介紹極限和微分，第 2 章討論優化與敏感度。

歷史選修拓展。 第 3.6 節及相關概率練習是歷史背景下的選修拓展。

積分相加許多微小貢獻。貢獻帶符號時，積分是淨總量而非無符號面積；對密度積分時得到概率，而非某點密度高度。區分這些含義可避免常見錯誤。

3.1 從微小貢獻到定積分

將 $[a,b]$ 劃分為端點為 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ 的子區間，選擇樣本點 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，構造 Riemann 和

$$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i,\qquad\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.$$

網格大小是最大的 $\Delta x_i$。若有界函數的這些和在網格趨於零時，不論如何選擇樣本點都趨於同一有限數，則稱它 Riemann 可積。該數記為 $\int_a^b f(x)\,dx$。閉有界區間上的連續函數均可積。

若 $f$ 是以升／分鐘計的流率，而 $x$ 是以分鐘計的時間，則積分單位為升。樣本矩形的高度是流率，寬度是時間，乘積為總量。

一致連續

定義

整個定義域共用一個 delta

若對每個 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使所有 $x,y\in A$ 只要滿足 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$，則稱 $f:A\to\mathbb R$ 在 $A$ 上一致連續。$\delta$ 可依賴 $\varepsilon$，但不可依賴 $x$ 或 $y$。

定理

Heine–Cantor 定理

緊緻集合上的每個連續實值函數都一致連續。

證明

用緊緻性作反證

若非一致連續，則存在 $\varepsilon_0>0$，使每個 $n$ 都有 $x_n,y_n\in K$，滿足 $|x_n-y_n|<1/n$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0$。緊緻性給子列 $x_{n_k}\to x\in K$；由兩點距離趨零，也有 $y_{n_k}\to x$。連續性給 $f(x_{n_k})\to f(x)$ 及 $f(y_{n_k})\to f(x)$，與輸出距離至少為 $\varepsilon_0$ 矛盾。

例題

無界定義域上連續但非一致連續

$f(x)=x^2$ 在 $\mathbb R$ 上連續，但不一致連續。取 $x_n=n$、$y_n=n+1/n$，則 $|x_n-y_n|=1/n\to0$，但 $|f(y_n)-f(x_n)|=2+1/n^2\not\to0$。在任何閉有界區間上，Heine–Cantor 定理卻保證一致連續。也可直接證明：若 $|x|,|y|\le M$，則 $|x^2-y^2|\le2M|x-y|$。

學習目標與定義

推導可積性結論背後的證明，並區分有界與可積。設 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。對分割 $P:a=x_0<\cdots<x_n=b$，記 $m_i=\inf_{[x_{i-1},x_i]}f$、$M_i=\sup_{[x_{i-1},x_i]}f$，並定義 $L(f,P)=\sum m_i\Delta x_i$、$U(f,P)=\sum M_i\Delta x_i$。下積分 $\underline I$ 是所有下和的上確界，上積分 $\overline I$ 是所有上和的下確界。加細分割使下和不減、上和不增。

對任意兩個分割 $P,Q$，由其公共加細得 $L(f,P)\le U(f,Q)$，故 $\underline I\le\overline I$。有界性保證這些量有限。上下積分相等時，稱函數 Riemann 可積。

定理：Darboux 判據

有界函數可積，當且僅當對每個 $\varepsilon>0$ 都存在分割，使 $U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。

證明。 若上下積分均等於 $I$，由上下確界逼近性質，取一個大於 $I-\varepsilon/2$ 的下和及一個小於 $I+\varepsilon/2$ 的上和。它們的公共加細的上下和之差小於 $\varepsilon$。反之，若對每個正的 $\varepsilon$ 都有這樣的分割，則不等式 $0\le\overline I-\underline I\le U(f,P)-L(f,P)$ 迫使上下積分之差為零。

定理：允許有限個不連續點

若 $f$ 有界，且除至多有限個點外處處連續，則它可積。

證明。 設 $|f|\le M$，並取 $M>0$。用有限個小區間圍住例外點，將其端點加入分割，使這些區間總長度小於 $\varepsilon/(4M)$；在 $[a,b]$ 的端點處採用單側區間。它們對上下和之差的貢獻至多是總長度的 $2M$ 倍，因而小於 $\varepsilon/2$。剩餘的有限個閉區間上，$f$ 連續，故一致連續。將各區間充分加細，使所得每個小區間上的振幅小於 $\varepsilon/[2(b-a)]$，則其上下和差的總貢獻小於 $\varepsilon/2$。合併全部分割點，得到小於 $\varepsilon$ 的差。若某例外區間的端點本身是例外點，稍微移動該端點，使實際例外點都在所選區間內部或定義域端點，從而剩餘閉區間上仍連續。

連續函數與任意標籤的細網格

設 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 連續，其中 $a<b$。極值定理保證 $f$ 有界，Heine–Cantor 定理保證它一致連續。對分割 $P$，用 $L(f,P)$ 和 $U(f,P)$ 表示其 Darboux 下和與上和。已證明的連續函數 Darboux 可積定理給出共同積分值 $I$。

固定 $\varepsilon>0$。由一致連續性，存在 $\delta>0$，使得只要 $|x-y|<\delta$，便有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon/[2(b-a)]$。如果 $P$ 的網格大小小於 $\delta$，每個子區間上的振幅至多為 $\varepsilon/[2(b-a)]$，因此

$$U(f,P)-L(f,P)\le\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon.$$

對任意標籤選擇，其標籤和 $S(P)$ 位於 $L(f,P)$ 與 $U(f,P)$ 之間；$I$ 也在兩者之間。因此 $|S(P)-I|\le U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon$。同一個 $\delta$ 對所有網格足夠小的分割和所有標籤選擇都適用。這證明了所述閉區間上連續函數滿足標籤網格定義。

設 $a<b$，取分割 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，記 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，選標籤 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，網格為 $\|P\|=\max_i\Delta x_i$。若有限數 $I$ 滿足：對每個 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得每個滿足 $\|P\|<\delta$ 的分割及任意標籤選擇都滿足 $|\sum_i f(\xi_i)\Delta x_i-I|<\varepsilon$，則 $I$ 是定積分 $\int_a^bf(x)dx$。閉區間上的連續函數可積。

設 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續，令 $A(x)=\int_a^xf(t)dt$。對 $x\in(a,b)$ 及滿足 $x+h\in[a,b]$ 的非零 $h$，積分估計給出

$$\left|\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)\right|\le\sup_{t\in[\min(x,x+h),\max(x,x+h)]}|f(t)-f(x)|\longrightarrow0\quad(h\to0).$$

因此內部有 $A'(x)=f(x)$；端點處同理得到單側導數。若 $F$ 在 $[a,b]$ 連續、在 $(a,b)$ 可微且其中 $F'=f$，由中值定理，$F-A$ 在 $[a,b]$ 上為常數。因此 $\int_a^bf=F(b)-F(a)$。

例 1：具有精確極限的和。 對 $[0,1]$ 上的 $f(x)=x$，使用 $n$ 個等寬區間及右端點 $i/n$。和為

$$\sum_{i=1}^n\frac in\frac1n=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac12+\frac1{2n}.$$

它趨於 $1/2$。這裡的連續性保證可積，因此所有充分細的帶標記劃分都有相同極限；只計算一個方便的劃分族，不能對任意函數證明此事實。

積分具有線性和區間可加性：

$$\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^bf+\beta\int_a^bg,\qquad \int_a^cf=\int_a^bf+\int_b^cf.$$

若區間上 $f\le g$，其積分保持相同順序。交換積分端點改變符號。

3.2 微積分基本定理

若 $f$ 在 $[a,b]$ 連續且 $A(x)=\int_a^x f(t)\,dt$，則對 $a<x<b$ 有 $A'(x)=f(x)$。為理解其原因，

$$\frac{A(x+h)-A(x)}h=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt.$$

這是短區間上 $f$ 的平均值。它與 $f(x)$ 的差的絕對值，由該區間上最大的 $|f(t)-f(x)|$ 控制；由連續性該界趨於零。正負兩種 $h$ 均有相同結論。

第二種形式說明：若 $f$ 在 $[a,b]$ 連續，$F$ 在 $[a,b]$ 連續、在 $(a,b)$ 可微，且在 $(a,b)$ 上 $F'=f$，則

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

事實上，累積積分函數與 $F$ 導數相同；由均值定理，它們的差為常數。這將累積問題轉化為原函數計算。

不定積分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ 表示某區間上的原函數族。常數不可缺少，因為求導會消去常數；計算定積分後不再附加該常數。

例 2：從變化率到總量。 假設水箱淨流入率為 $r(t)=6-2t$ L/min，時間範圍為 $0\le t\le4$。體積變化為

$$\int_0^4(6-2t)\,dt=[6t-t^2]_0^4=8\text{ L}.$$

流入率在 $t=3$ 改變符號。無論流入流出都按正量計算時，總移動量為 $\int_0^4|6-2t|\,dt=9+1=10$ L。淨變化與總移動量未必相同。

3.3 換元逆轉鏈式法則

鏈式法則給出 $dF(g(x))/dx=F'(g(x))g'(x)$。因此在通常的連續與可微假設下，

$$\int F'(g(x))g'(x)\,dx=F(g(x))+C.$$

對定積分，也要變換積分界：

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du.$$

該公式由對原函數複合求導得到；採用此一元形式時，不要求 $g$ 全局單射。

2. 定積分換元與分部積分

設 $a<b$，$g\in C^1([a,b])$，$f$ 在包含 $g([a,b])$ 的區間 $I$ 上連續；上下限倒置時採用有向積分，則

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du.$$

證明。 若 $I$ 的有限端點屬於像集，在該端點作常值延拓，從而將 $f$ 連續延拓至包含 $g([a,b])$ 的開區間。取其中 $u_0$，定義 $F(u)=\int_{u_0}^{u}f(t)\,dt$。由微積分基本定理，在該開區間上 $F'=f$。鏈式法則在 $(a,b)$ 給出 $(F\circ g)'=f(g)g'$。對連續被積函數 $f(g)g'$ 應用微積分基本定理，得 $F(g(b))-F(g(a))$，即右邊。在這些假設下無需 $g$ 單調或單射。

若 $u,v\in C^1([a,b])$，則

$$\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx.$$

證明。 對乘積法則 $(uv)'=u'v+uv'$ 積分，再利用線性與微積分基本定理整理。連續性保證所有積分為正常黎曼積分。

例。 令 $g(x)=x^2$ 在 $[-1,1]$ 上，$f(u)=e^u$，換元得 $\int_{-1}^{1}2xe^{x^2}dx=\int_1^1e^u du=0$，儘管 $g$ 不是單射。分部積分給出 $\int_0^1xe^x dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x dx=1$。

補充微積分練習：CR 題組

CR 題組完整解答

例 3：內層表達式及其導數。 計算

$$\int_0^2\frac{2x}{1+x^2}\,dx.$$

令 $u=1+x^2$，則 $du=2x\,dx$；積分界變為 $u=1$ 和 $u=5$。結果為 $\int_1^5du/u=\ln5$。也可在原積分界之間計算 $\ln(1+x^2)$。不要把換元後的被積式與未變換的積分界混用。

對 $\int x\sqrt{1+x^2}\,dx$，同樣換元得到 $\frac12\int u^{1/2}du=\frac13(1+x^2)^{3/2}+C$。導數檢查可確認沒有遺漏因子。

3.4 分部積分逆轉乘積法則

對 $(uv)'=u'v+uv'$ 積分得

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

定積分須包括邊界項 $[uv]_a^b$。當一個因子求導後簡化、另一個因子可積分時，此方法很有用。

例 4：時間加權指數。 對 $k>0$，

$$\int_0^T te^{-kt}\,dt =\left[-\frac tk e^{-kt}\right]_0^T+\frac1k\int_0^T e^{-kt}\,dt =\frac1{k^2}\bigl(1-e^{-kT}(1+kT)\bigr).$$

$e^{-kt}$ 的原函數中的負號不可省略。在 $T=0$ 時結果為零，符合要求。再對 $T$ 求導得到 $Te^{-kT}$，構成第二項檢查。

3.5 面積與合理分段

連續曲線穿過坐標軸時，帶符號積分可能使正負貢獻抵消。$y=f(x)$ 與坐標軸之間的無符號面積為 $\int|f(x)|dx$，可在零點分段計算。兩曲線之間的面積為 $\int|f-g|dx$；“上方曲線”可能在區間內改變。

例 5：相交曲線。 在 $[0,2]$ 上比較 $y=x$ 與 $y=x^2$。它們在 $0$ 和 $1$ 相交，面積為

$$\int_0^1(x-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-x)\,dx =\frac16+\frac56=1.$$

使用 $\int_0^2(x^2-x)dx$ 會得到 $2/3$，即帶符號差，而非面積。

3.6 密度、分布與期望（歷史選修拓展）

連續概率模型可由非負密度 $p$ 指定，且其總積分為 $1$。對區間，

$$\Pr(a\le X\le b)=\int_a^b p(x)\,dx.$$

密度不是點概率：在該模型中單個點的概率為零，密度高度可以大於 $1$。累積分布函數為 $F(x)=\Pr(X\le x)=\int_{-\infty}^xp(t)dt$。在 $p$ 連續處，$F'(x)=p(x)$。

當有關積分絕對收斂時，期望為 $E[X]=\int xp(x)dx$，方差為 $E[(X-E[X])^2]=E[X^2]-E[X]^2$。這些定義需要選定概率模型；任意非負圖像只有在歸一化後才是密度。

例 6：先歸一化。 設 $p(x)=cx$ 在 $0\le x\le2$ 上成立，其餘處為零。歸一化要求 $c\int_0^2x\,dx=2c=1$，所以 $c=1/2$。於是

$$\Pr(X\le1)=\int_0^1\frac x2dx=\frac14,\quad E[X]=\int_0^2\frac{x^2}2dx=\frac43.$$

其 CDF 在 $x<0$ 為 $0$，在 $0\le x\le2$ 為 $x^2/4$，在 $x>2$ 為 $1$。均值位於支集內，但不在中點，因為密度對較大值賦予更高權重。

$[0,\infty)$ 上的反常積分是極限 $\lim_{T\to\infty}\int_0^T$。對指數密度 $p(t)=\lambda e^{-\lambda t}$、$t\ge0$、$\lambda>0$，該極限為 $1$。其尾概率為 $e^{-\lambda s}$，其中 $s\ge0$；利用例 4 和極限 $Te^{-\lambda T}\to0$，均值為 $1/\lambda$。不能把無窮大當作普通端點來計算反常積分。

3.7 分層練習

基礎

1. 計算 $\int_1^3(2x+1)\,dx$，並對原函數進行導數檢查。
2. 求 $d/dx\,[\int_0^{x^2}\cos t\,dt]$。
3. 變化率為 $r(t)=4-t$，時間範圍為 $0\le t\le6$。求其淨積分與絕對累積總量。

核心

4. 用換元計算 $\int_0^1 3x^2e^{x^3}\,dx$，包括變換後的積分界。
5. 用分部積分計算 $\int_0^1 xe^x\,dx$。
6. 求 $[0,2]$ 上 $y=x$ 與 $y=x^3$ 之間的面積。
7. 設 $p(x)=k x(2-x)$ 在 $[0,2]$ 上成立，其餘地方為零。求 $k$、$\Pr(X\le1)$ 和 $E[X]$。

綜合

8. 對練習 7 的密度，求 $E[X^2]$ 和方差，檢查方差非負。
9. 對參數為 $\lambda>0$ 的指數密度，用條件概率和積分推導 $\Pr(X>s+t\mid X>s)=\Pr(X>t)$（$s,t\ge0$），並說明條件概率為何有定義。
10. 學生將 $[0,1]$ 上非負函數積分得到 $1.4$，並稱其為概率。說明缺少甚麼條件。若函數為 $q(x)=3x^2+1$，將它歸一化為 $[0,1]$ 上的密度，並求 $[0,1/2]$ 的概率。

3.8 完整解答

1. 原函數為 $x^2+x$，其導數為 $2x+1$。定積分為 $(9+3)-(1+1)=10$。
2. 先用微積分基本定理再用鏈式法則，得到 $2x\cos(x^2)$。
3. 淨積分為 $[4t-t^2/2]_0^6=6$。在 $4$ 處分割絕對值積分：第一部分為 $8$，第二部分為 $2$，總計 $10$。
4. 令 $u=x^3$，則 $du=3x^2dx$，積分界仍為 $0$ 和 $1$。積分為 $\int_0^1e^udu=e-1$。
5. 取 $u=x$、$dv=e^xdx$，得到 $[xe^x]_0^1-\int_0^1e^xdx=e-(e-1)=1$。
6. 差 $x-x^3$ 在 $(0,1)$ 為正，在 $(1,2)$ 為負。面積為 $\int_0^1(x-x^3)dx+\int_1^2(x^3-x)dx=1/4+9/4=5/2$。
7. $\int_0^2x(2-x)dx=[x^2-x^3/3]_0^2=4/3$，所以 $k=3/4$。至 $1$ 的概率為 $(3/4)(1-1/3)=1/2$，均值為 $(3/4)\int_0^2(2x^2-x^3)dx=(3/4)(16/3-4)=1$。
8. $E[X^2]=(3/4)\int_0^2(2x^3-x^4)dx=(3/4)(8-32/5)=6/5$，方差為 $6/5-1^2=1/5>0$。
9. 尾積分為 $\Pr(X>u)=e^{-\lambda u}$。由於 $\{X>s+t\}\subseteq\{X>s\}$，條件概率為 $e^{-\lambda(s+t)}/e^{-\lambda s}=e^{-\lambda t}=\Pr(X>t)$。對每個有限 $s\ge0$，分母都為正。
10. 只有非負性不夠；密度在支集上的總積分必須為 $1$。這裡 $\int_0^1q(x)dx=[x^3+x]_0^1=2$，故 $p(x)=(3x^2+1)/2$ 在 $[0,1]$ 上成立，其他地方為零。至 $1/2$ 的概率為 $\frac12[(1/2)^3+1/2]=5/16$。

總結與後續聯繫

積分是和的極限，應結合單位和符號解釋。微積分基本定理聯繫累積與導數；換元逆轉鏈式法則，分部積分逆轉乘積法則。無符號面積需要絕對值或正確的符號分段。密度必須非負且歸一化，概率來自積分而非密度高度。

先修聯繫。 連續性支持可積性和微積分基本定理；乘積法則與鏈式法則支持兩種主要積分技巧；對數和指數極限支持反常積分。常微分方程和更廣泛的概率主題需要後續章節。