建模：單位、變化率與全局決策

建模目標與步驟

應用導數前，先將問題轉化為變量、單位、定義域和關係式。然後區分瞬時變化率與有限變化，檢查端點或物理停止條件，並驗證模型答案是否符合假設。下面使用假設性的物理、工程和經濟例子。

可靠的步驟是：命名量及其單位；說明理想化假設；確定允許的定義域；推導關係式；在變量仍然變化時求導；求解相關方程；檢查所有候選點和邊界；結合單位解釋結果。代數上正確的導數不能修復錯誤的關係式或不可能的定義域。

1. 停止距離與物理時間區間

假設物體沿直線運動，初速度為 $v_0>0$，恆定加速度為 $-a$，其中 $a>0$。以秒計時間，以米每秒計速度，以米每平方秒計 $a$。速度為 $v(t)=v_0-at$，相對於起點的位移為

$$s(t)=v_0t-\frac12at^2.$$

停止時間為 $t_*=v_0/a$。如果模型描述的是剎車至靜止，而非之後的反向運動，物理定義域便是 $0\le t\le t_*$。在這個區間內速度非負，故路程等於位移。代入得到

$$s(t_*)=\frac{v_0^2}{2a}.$$

單位為 $(\text{metres/second})^2/(\text{metres/second}^2)=\text{metres}$，符合要求。固定減速度時，初速度加倍使距離變為四倍；按速度作線性外推會出錯。停止區間的平均速度是距離除以經過的時間，即 $v_0/2$，而不是起點或終點的瞬時速度。

允許同一個二次模型用於 $t>t_*$ 時，速度變負，位置減小。這是在恆定負加速度下數學上一致的延拓，卻不是同一個“剎車至停止”的物理實驗。定義域承載了停止假設。

2. 工程優化：證明全局最大值

一張正方形薄片的邊長為 $S>0$。從四個角各剪去邊長為 $x$ 的正方形，折成無蓋盒。高度為 $x$，底面每邊為 $S-2x$，因此

$$V(x)=x(S-2x)^2,\qquad0\le x\le S/2.$$

端點對應體積為零的退化盒子；納入端點便得到連續目標函數的緊區間。其導數因式分解為 $V'(x)=(S-2x)(S-6x)$。唯一的內部駐點候選是 $x=S/6$；另一根 $S/2$ 已是列出的端點。當 $0\le x<S/6$ 時導數為正，當 $S/6<x<S/2$ 時導數為負。比較端點值可證明全局最大值為

$$V_{\max}=\frac{2S^3}{27},\qquad x=\frac S6.$$

如果要求盒子非退化，採用開區間 $0<x<S/2$，最大值仍然相同，因為最大點仍被允許。在其他問題中，端點最優值可能因開區間而消失；不能僅由導數等於零推斷最大值存在。

縮放規律也能檢驗模型：每個長度乘以 $k>0$，最優剪口邊長乘以 $k$，最大體積乘以 $k^3$。若公式像面積一樣縮放，便說明可能遺漏了高度或量綱錯誤。

3. 相關變化率：先求導，再代入時刻

一架剛性梯子的固定長度為 $L>0$，梯腳距牆 $x(t)$，梯頂高度為 $y(t)$，保持接觸且 $x,y\ge0$。它們滿足 $x^2+y^2=L^2$。在某時刻 $y>0$，梯腳以速度 $x'=v>0$ 向外移動，則

$$2xx'+2yy'=0,\qquad y'=-\frac{x}{y}v.$$

負號表示梯頂向下移動。必須在 $x,y$ 仍為變量時求導；若求導前就代入該時刻的常數，會抹去變化率。因為 $x/y$ 無量綱，單位仍是米每秒。

公式不能在 $y=0$ 處計算。在理想化的梯腳恆速模型下，梯頂接近地面時這一速度的絕對值增大；但實際接觸或運動假設可能在達到奇異極限之前失效。分母趨於零提示我們重新檢查模型，而不是說明該處存在有限的物理速度。

對於滿高 $H>0$、頂面半徑 $R>0$ 的圓錐形水箱，相似截面給出水深 $h$ 時的水面半徑 $r=(R/H)h$。因此

$$V=\frac{\pi R^2}{3H^2}h^3.$$

設恆定流入量為 $Q>0$ 且無滲漏，$V'=Q$，故當 $h>0$ 時，

$$h'=\frac{QH^2}{\pi R^2h^2}.$$

從空箱開始，到水箱注滿為止，精確水深為 $h(t)=[3QH^2t/(\pi R^2)]^{1/3}$。零時刻的右側斜率為無窮大：理想錐尖的截面積為零。有限的體積流入率不一定產生有限的初始水深變化率。正水深公式並未證明空箱時存在有限導數。

4. 邊際量、平均量與實際增量不同

考慮假設的連續產量 $q\ge0$，成本為 $C(q)=F+cq+dq^2$，其中 $F,c,d\ge0$。成本以貨幣單位計，$q$ 以產品單位計，$c$ 的單位是每產品單位的貨幣量，$d$ 的單位是每平方產品單位的貨幣量。邊際成本為 $C'(q)=c+2dq$，當 $q>0$ 時平均成本為 $C(q)/q$，實際有限成本增量為 $C(q+\Delta q)-C(q)$，其中可行變化須滿足 $q+\Delta q\ge0$。

對於這個二次函數，

$$C(q+\Delta q)-C(q)=C'(q)\Delta q+d(\Delta q)^2.$$

邊際近似有精確的二次餘項。單獨的導數並不是增加整整一個單位的成本；但若一個單位的變化相對於模型尺度很小，它的數值可以近似該增量。平均成本含有固定項 $F/q$，回答的是另一個問題。

假設單價服從需求模型 $p(q)=A-Bq$，其中 $A>0,B>0$；價格非負要求 $q\le A/B$。若產能為 $Q\ge0$，可行域為 $0\le q\le L=\min(Q,A/B)$。收入為 $q p(q)$，扣除已經承諾的固定成本後，利潤為

$$P(q)=(A-c)q-(B+d)q^2-F.$$

這是嚴格凹函數。無約束駐點為 $q_*=(A-c)/[2(B+d)]$。約束下的最大化點是 $[0,L]$ 中最接近 $q_*$ 的點：頂點為負時取零；頂點超過 $L$ 時取 $L$；否則取頂點。可由導數符號或配方得出。已承諾的固定成本改變利潤值，卻不改變最大化產量。若停產可以避免該成本，那麼與停產選項比較就是另一個模型，必須另行說明。

5. 連續建模不能取消離散可行性

若只能生產完整件數，可行選擇是 $[0,L]$ 中的整數。對上述嚴格凹二次函數，配方顯示利潤隨著與實數頂點距離的平方增大而下降。因此應比較最接近頂點的可行整數，必要時在端點截斷。一律向上取整，或把實數駐點當作可行數量，都沒有數學依據。即使連續最大點唯一，兩個等距離整數仍可能並列。

誤差估計也有同樣的區別。球的半徑相對變化 $\varepsilon$，其中 $1+\varepsilon>0$，則體積相對變化為 $(1+\varepsilon)^3-1=3\varepsilon+3\varepsilon^2+\varepsilon^3$。微分近似為 $3\varepsilon$，其相對誤差餘項的絕對值至多為 $3\varepsilon^2+|\varepsilon|^3$。導數給出局部模型；精確恆等式或泰勒界量化有限變化下的精度。

分層建模與解釋練習

1. 物理與縮放。 推導停止時間和停止距離公式，檢驗單位，並解釋在該模型中路程為甚麼只在指定區間等於位移。
2. 全局優化。 證明無蓋盒的最大值是全局最大值，列出所有邊界候選，並說明不允許零體積端點形狀時有何變化。
3. 變化率與奇異性。 推導梯子變化率，說明試圖代入 $y=0$ 時哪一代數假設失效。
4. 坐標變化率。 從恆定流入量推導圓錐水箱的水深規律，解釋初始水深斜率無窮大，而不推斷體積流入率無窮大。
5. 經濟量。 對給定假設成本／需求模型，解釋固定成本、產能和非負價格如何影響連續最優產量。區分已承諾成本與停產可避免的成本。
6. 離散決策與誤差。 證明凹二次函數在整數上的最大點必為最接近其實數頂點的可行整數之一。為甚麼沒有誤差界或精確比較，微分近似不能確認哪個整數獲勝？

完整解答

1. 令 $v_0-at=0$，得到 $t_*=v_0/a$。對速度積分並令初位移為零，得到 $s(t)=v_0t-at^2/2$ 和 $s(t_*)=v_0^2/(2a)$。時間單位是秒，距離單位是米。停止前速度非負，所以 $\int|v|=\int v$；繼續該模型越過停止時刻後速度為負，絕對路程不再等於有符號位移。
2. 在 $[0,S/2]$ 上，連續性保證最大值可達到。端點值為零；導數的根是 $S/6$ 和端點 $S/2$。內部值為 $2S^3/27>0$，由導數符號或端點比較可知它是全局最大值。去除退化端點仍保留此最大點。變化的只有最小值：在開區間上，下確界零不被取到。
3. 對 $x^2+y^2=L^2$ 求導得 $xx'+yy'=0$。當 $y>0$ 時，解得 $y'=-(x/y)x'$。在 $y=0$ 處除法無效；若 $x=L>0$ 且 $x'>0$，求導恆等式會要求 $Lx'=0$，這與上述假設以及有限的 $y'$ 不相容。理想接觸運動不能以相同的可微變化率條件延續至該處。
4. 相似性給出 $r/h=R/H$，因此得到三次體積公式。從空箱以恆定流入量注水，得到 $V=Qt$ 及注滿前上述立方根水深。其導數與正數倍的 $t^{-2/3}$ 同階，在 $t\downarrow0$ 時無界。體積仍以有限速率 $Q$ 線性增長；奇異性來自在錐尖截面積為零附近，將體積轉換成高度。
5. 配方得到頂點 $q_*=(A-c)/[2(B+d)]$。將它截到 $[0,\min(Q,A/B)]$，得到可行的連續最大化點。已承諾的 $F$ 從每個產量的利潤中減去相同數值，所以不改變頂點，但會改變所得利潤。若停產選項可避免 $F$，必須把它作為額外選項比較，而不能從這個已承諾成本目標中推斷。
6. 將二次函數寫為 $P(q_*)-K(q-q_*)^2$，其中 $K>0$。在可行整數上最大化恰好等價於最小化它們到頂點的距離，因此截斷後的向下／向上取整候選足夠，等距離時並列。微分近似省略了餘項，可能把接近的候選排序錯誤。本例中精確二次式允許精確比較；其他模型中，要確認排序，嚴格誤差界必須小於所稱的優勢。

總結與術語

物理定義域說明模型假設適用的範圍。相關變化率對共同變化的量之間的關係求導。邊際量是導數，並不自動等於有限增量或平均量。約束最優值既比較可行邊界也比較駐點，而離散最優值可能需要額外的整數比較。單位和解釋是微積分解答的一部分，並非符號計算後的裝飾。