本章骨架 · 行列式

若 $A=[a_{ij}]$ 是 $n\ge2$ 階方陣，對每個固定的行指標 $i$，有

$$\det(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$$

相應的任意列展開是：對每個固定的列指標 $j$，

$$\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}$$

因此，第一行公式是遞迴定義；任意行或任意列公式則是說明展開位置可以改變、但行列式不變的定理。以下結論按此定理使用。完整證明見 MATH1550：從遞迴行列式證明任意餘因子展開。先讀本節的遞迴定義，再按三步跟讀該證明：將 Leibniz 排列和按 $\sigma(1)$ 分組，得到相同基例和第一行遞推式，由歸納確認兩種定義一致；刪除 $\sigma(i)=j$ 使符號改變 $(-1)^{i+j}$；重新分組得到任意行或列展開。這不預設下文的換行或乘積法則。完成這座橋樑後，回到下面的零行和三角矩陣結論。

如果方陣的一整行或一整列的每一項都是零，則它的行列式為零。

設 $C$ 是 $n\ge2$ 階方陣。若第 $k$ 行除 $c_{k\ell}$ 外都為零，則

$$\det(C)=c_{k\ell}(-1)^{k+\ell}\det\bigl(C(k\mid\ell)\bigr)$$

若第 $\ell$ 列除 $c_{k\ell}$ 外都為零，也有同一公式。即使 $c_{k\ell}=0$，這個表述仍然成立。

若 $T$ 是上三角或下三角矩陣，則

$$\det(T)=t_{11}t_{22}\cdots t_{nn}$$

固定除第 $p$ 行外的每一行。若新第 $p$ 行是 $\alpha u+\beta v$，則

$$\det(\text{相同其他各行,但第 }p\text{ 行為 }\alpha u+\beta v) =\alpha\det(\text{相同其他各行,但第 }p\text{ 行為 }u) +\beta\det(\text{相同其他各行,但第 }p\text{ 行為 }v)$$

若一個方陣有兩行完全相同，則它的行列式等於 $0$。

對 $n\times n$ 矩陣 $A$，其中 $1\le p,q\le n$，凡涉及兩條行時均要求 $p\ne q$：

若 $B$ 由 $A$ 交換第 $p$、$q$ 行得到，則 $\det(B)=-\det(A)$；

若 $B$ 由 $A$ 把第 $p$ 行乘以 $\beta$ 得到，則 $\det(B)=\beta\det(A)$，包括 $\beta=0$ 的情形；

若 $p\ne q$，且 $B$ 由 $A$ 作 $R_q\leftarrow R_q+\alpha R_p$ 得到，則 $\det(B)=\det(A)$。

若一串基本行運算把 $A$ 變成 $U$，其中有 $s$ 次換行，並把行分別乘以非零數 $\beta_1,\ldots,\beta_q$，則

$$\det(U)=(-1)^s\left(\prod_{j=1}^{q}\beta_j\right)\det(A)$$

因此

$$\det(A)=\frac{\det(U)}{(-1)^s\prod_{j=1}^{q}\beta_j}$$

行替換的倍數是 $1$，所以不出現在分母中。

若 $A$、$B$ 是同尺寸的方陣，則

$$\det(AB)=\det(A)\det(B)$$

對方陣 $A$，

$$A\text{ 可逆}\quad\Longleftrightarrow\quad\det(A)\ne0$$

若 $A$ 可逆，則

$$\det(A^{-1})=\frac1{\det(A)}$$

對任意方陣 $A$ 和正整數 $m$，

$$\det(A^m)=(\det A)^m$$

若 $A$ 可逆，同一公式對所有整數 $m$（包括負整數）成立。

對每個方陣 $A$，

$$\det(A^T)=\det(A).$$

設 $A=[a_{ij}]$ 是 $n\ge2$ 階方陣，固定列指標 $j$。記 $M_{ij}$ 為子式，$C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ 為餘因子，則

$$\det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots+a_{nj}C_{nj}.$$

等價地，

$$\det(A)=\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}M_{ij}.$$

設 $B$ 是由方陣 $A$ 做一次基本列運算得到。

交換兩個不同的列 $p$ 與 $q$，行列式乘上 $-1$。

把第 $p$ 列乘上 $\beta$，行列式也乘上 $\beta$；若變換要可逆，要求 $\beta\ne0$。

若 $p\ne q$，把第 $q$ 列改成 $C_q+cC_p$，行列式不變。

對每個方陣 $A$，包括奇異矩陣，

$$A\,\operatorname{adj}(A)=\det(A)I.$$

若 $\det(A)\neq0$，則 $A$ 可逆，而且

$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A).$$

令 $A\in M_n(\mathbb{R})$ 滿足 $\det(A)\ne0$，並令 $b\in\mathbb{R}^n$。對每個 $j$，只把 $A$ 的第 $j$ 列改成 $b$，得到矩陣 $M_j$。

若 $x$ 是系統

$$Ax=b$$

的唯一解，則

$$x_j=\frac{\det(M_j)}{\det(A)}.$$