微分、链式法则与隐式曲线

温度、压力和几何约束依赖多个坐标。偏导数分离单个坐标的影响，但运动的观察者感受到它们的综合影响。全导数与链式法则正确组合这些变化。隐函数说明何时能在局部从约束中解出一个坐标。

1 极限要求所有趋近方式

对 $f:U\subset\mathbb R^n\to\mathbb R$，假设 $a$ 是 $U\setminus\{a\}$ 的聚点。在 $a$ 处的极限要求当在定义域内 $0<\|x-a\|\to0$ 时，$f(x)$ 趋于同一个数。不同路径的极限不同可否定极限存在；少数路径一致却不能证明存在。

对零点外的 $f(x,y)=xy/(x^2+y^2)$，两坐标轴给出极限零，而 $y=x$ 给出 $1/2$，故极限不存在。相比之下，

$$\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right|\le|y|\le\sqrt{x^2+y^2},$$

该界适用于所有趋近方式，证明原点极限为零。将函数在原点定义为零可使其连续，但不自动使其可微。

2 全导数与切平面

对这里完整的 $\mathbb R^n$ 导数，假设 $a$ 是定义域的内点，且 $f$ 在 $a$ 的某个开邻域上有定义。在 $a$ 处可微指存在一个线性映射 $L$，使 $f(a+h)=f(a)+Lh+o(\|h\|)$。对标量输出，$Lh=\nabla f(a)\cdot h$。偏导数在邻域中连续是充分条件：将增量分为坐标步骤，应用一元中值定理，并由连续性控制中间点的导数值。

$z=f(x,y)$ 在 $(a,b,f(a,b))$ 处的切平面为

$$z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).$$

单位方向 $u$ 的方向导数为 $\nabla f\cdot u$。对运动点 $r(t)$，链式法则给出 $(f\circ r)'=\nabla f(r(t))\cdot r'(t)$；对向量映射则是雅可比矩阵相乘。其证明将一个局部线性近似代入另一个，内层增量是 $O(\|h\|)$，故复合余项仍为 $o(\|h\|)$。

例。 令 $T(x,y,z)=x^2+y^2+2z$、$r(t)=(\cos t,\sin t,t)$。则 $T(r(t))=1+2t$，变化率为 2。梯度方法给出 $(2\cos t,2\sin t,2)\cdot(-\sin t,\cos t,1)=2$。坐标运动可以使两个表面上的温度影响相互抵消。

3 精确的隐函数结果

平面曲线定理。 假设 $F$ 在 $(a,b)$ 附近为 $C^1$，$F(a,b)=0$ 且 $F_y(a,b)\ne0$。则在适当邻域中，$F(x,y)=0$ 的解恰为 $y=g(x)$，其中存在唯一的 $C^1$ 函数，满足 $g(a)=b$，且

$$g'(x)=-\frac{F_x(x,g(x))}{F_y(x,g(x))}.$$

证明。 必要时改变符号，由连续性在一个小矩形上有 $F_y\ge m>0$。在其中央竖直线上，由中值定理，$b$ 上下稍近的函数值异号。连续性使当 $x$ 接近 $a$ 时异号保持。介值定理为每个这样的 $x$ 给出中间的一个根，而 $y$ 方向严格递增使其唯一。对附近的 $x,x'$，在 $y$ 方向应用中值定理得

$$m|g(x')-g(x)|\le|F(x',g(x))-F(x,g(x))|.$$

右边趋于零，证明连续；$F_x$ 有界使 $g(x')-g(x)=O(|x'-x|)$。在 $(x,g(x))$ 对位移 $(h,g(x+h)-g(x))$ 使用 $F$ 的可微展开，现在得到

$$0=F_xh+F_y[g(x+h)-g(x)]+o(|h|).$$

除以 $h$，使用 $F_y\ne0$ 解出导数。导数公式的连续性证明 $g\in C^1$。$\square$

对于 $x^2+y^2=1$，在 $(0,1)$ 附近定理给出 $y=\sqrt{1-x^2}$、$g'=-x/y$。在 $(1,0)$ 附近 $F_y$ 条件失效，该圆在那里不是单个可微的 $y$ 图像；由于 $F_x\ne0$，可改写为 $x$ 图像。一个充分条件失败并不普遍意味着不存在任何隐式表示。

导数规律背后的误差估计

对连续偏导数判据，在 $a$ 附近取闭包仍在定义域内的小开长方体。从 $a$ 到 $a+h$ 每次只改变一个坐标。一元中值定理将第 $j$ 步写成 $f_{x_j}(a+\theta_j)h_j$，其中 $\|\theta_j\|\le\|h\|$。减去 $\sum_jf_{x_j}(a)h_j$ 后，只要各偏导数与其在 $a$ 的值之差不超过 $\varepsilon$，误差便不超过 $\varepsilon\sum_j|h_j|\le\varepsilon\sqrt n\|h\|$。这就在所有方向上一致证明了所需的小 o 估计。向量输出可逐分量处理。

对链式法则，写 $G(a+h)=G(a)+Bh+r(h)$，其中 $r(h)=o(\|h\|)$；再写 $F(b+k)=F(b)+Ak+s(k)$，其中 $s(k)=o(\|k\|)$、$b=G(a)$。于是 $k=Bh+r(h)=O(\|h\|)$，复合误差 $Ar(h)+s(k)$ 为 $o(\|h\|)$。若 $k=0$，第二项恰为零；否则 $\|s(k)\|/\|k\|$ 乘以有界的 $\|k\|/\|h\|$ 趋于零。因此导数按此次序为 $AB$。

平面隐函数证明中的小矩形可选为闭矩形，且位于原 $C^1$ 邻域内部。紧性给出 $F_x$ 的界，$F_y$ 的正下界在用到的每条竖直线段上都成立。缩小水平区间可保留上下边界的异号。这些选择使证明中的估计一致成立，而无须二阶导数。

4 分级练习

E1 基础。 求 $z=x^2y+e^y$ 在 $(1,0,1)$ 处的切平面。

E2 链式法则。 令 $u=x+y$、$v=x-y$ 和 $f(u,v)=u^2+3v^2$，计算 $\partial f/\partial x$ 和 $\partial f/\partial y$。

E3 隐式导数。 在 $(1,1)$ 附近，论证可从 $x^2+xy+y^2=3$ 解出 $y$，并求该点的 $dy/dx$。

E4 局限。 对 $F(x,y)=y^2-x^2$，解释为什么定理不能在零点附近给出唯一的 $y$ 图像，并描述实际解集。

5 完整解答

S1. $f_x=2xy$、$f_y=x^2+e^y$，故在 $(1,0)$ 处分别为 0 和 2。平面为 $z=1+2y$。

S2. $f_x=2u+6v=8x-4y$，$f_y=2u-6v=-4x+8y$。直接展开为 $4x^2-4xy+4y^2$，可验证两者。

S3. 该点 $F_y=x+2y=3\ne0$，故定理适用。$F_x=2x+y=3$，所以斜率为 $-1$。

S4. $F_y(0,0)=0$。解是两条直线 $y=x$ 和 $y=-x$ 的并，每个充分小的非零 $x$ 都给出两个不同的 $y$ 值。因此没有单个图像能描述附近所有解。

总结

多元极限需要考虑所有趋近方式；可微性需要一个一致的线性近似。雅可比矩阵相乘组合坐标变化。约束中的非零偏导数给出局部隐式图像，其导数公式的有效性来自存在性和唯一性，而非单纯的形式除法。