特征值与重复分摊

当同一分摊规则反复应用时，只乘一次矩阵不够，需要理解 $B^k$。特征向量指出规则下比例不变的方向，也揭示无穷轮间接分摊何时有有限总量。

1 矩阵幂与不变方向

方阵 $B$ 的特征向量是满足 $Bv=\lambda v$ 的非零向量 $v$，标量 $\lambda$ 是其特征值。非零条件重要：零对每个标量都满足方程，却没有信息。由归纳法，重复相乘得到 $B^kv=\lambda^kv$。

若矩阵有一组实特征向量基，称其在 $\mathbb R$ 上可对角化。将这些向量作为可逆矩阵 $P$ 的列，得 $BP=PD$ 和

$$B=PDP^{-1},\qquad B^k=PD^kP^{-1},$$

其中 $D$ 为对角矩阵。公式来自相邻的 $P^{-1}P$ 抵消。并非所有实矩阵都可对角化；$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 只有一个线性无关特征向量。

对 $2\times2$ 矩阵 $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，行列式为 $ad-bc$。特征值满足 $\det(B-\lambda I)=0$，因为 $(B-\lambda I)v=0$ 有非零解当且仅当矩阵奇异。

2 两部门分摊例子

取

$$B=\begin{pmatrix}0&1/2\\1/2&0\end{pmatrix}.$$

$(1,1)$ 的特征值为 $1/2$，$(1,-1)$ 的特征值为 $-1/2$。两部门金额相等时，比例不变地衰减；差额则在缩小的同时交替方向。对初始金额 $u=(6,2)$，

$$u=4(1,1)+2(1,-1),\quad B^ku=4(1/2)^k(1,1)+2(-1/2)^k(1,-1).$$

当 $k=1$，结果为 $(1,3)$，与直接相乘一致。负特征值不意味着每个预测向量都有负元素；它描述带符号的差额方向，而非单独的非负部门金额。

3 直接与间接分摊总量

设 $d$ 为直接成本，$x=d+Bx$ 包含所有间接轮次。若 $B$ 可对角化且所有特征值满足 $|\lambda|<1$，则 $B^k\to0$，且

$$\sum_{k=0}^{\infty}B^k=(I-B)^{-1},\qquad x=(I-B)^{-1}d.$$

在所述假设下的证明。 对角化将每个矩阵元素化成有限个 $\lambda_i^k$ 的线性组合，后者均趋零。有限望远镜恒等式

$$(I-B)(I+B+\cdots+B^N)=I-B^{N+1}$$

取极限后给出逆公式；反向相乘的类似恒等式给出双侧逆。$\square$

这个充分条件不是仅针对可对角化矩阵的完整刻画：一般谱半径定理也涵盖不可对角化矩阵，但该证明不需要它。

对上面的矩阵和 $d=(6,2)$，

$$I-B=\begin{pmatrix}1&-1/2\\-1/2&1\end{pmatrix},\qquad (I-B)^{-1}=\frac43\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}.$$

因此 $x=(28/3,20/3)$。代入得 $6+(1/2)(20/3)=28/3$、$2+(1/2)(28/3)=20/3$。总量包含内部轮次，其和不是外部支出的守恒陈述。

仅有可逆性不能证明收敛。对 $B=2I$，$I-B$ 可逆，但 $\sum B^k$ 发散。代数固定点 $x=-d$ 不是非负分摊之和。

先证明收敛，再取逆矩阵的极限

设 $B=PDP^{-1}$，实对角元 $\lambda_i$ 均满足 $|\lambda_i|<1$。对每个 $N\ge0$，有限矩阵相乘给出

$$\sum_{k=0}^NB^k=P\operatorname{diag}\left(\frac{1-\lambda_i^{N+1}}{1-\lambda_i}\right)P^{-1}.$$

分母均非零。若 $\lambda_i=0$，其正整数次幂为零；否则写 $1/|\lambda_i|=1+\delta_i$，其中 $\delta_i>0$，由二项式不等式 $(1+\delta_i)^k\ge1+k\delta_i$ 得 $|\lambda_i|^k\to0$。上式有限矩阵乘积的每个元素都收敛到 $S=P\operatorname{diag}((1-\lambda_i)^{-1})P^{-1}$ 的对应元素。因此在望远镜恒等式中取极限之前，矩阵级数已被证明存在。直接相消给出 $(I-B)S=S(I-B)=I$。这恰好证明此处使用的实可对角化假设下的结论，没有单凭可逆性推断收敛。

4 分层练习

E1 基础。 求 $C=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ 的特征值和一组实特征基。

E2 应用。 对 $B=\begin{pmatrix}0&1/4\\1/4&0\end{pmatrix}$、$d=(3,0)$，计算全部分摊轮次之和并验证固定点方程。

E3 推理。 对可对角化的 $B$，解释为什么模大于或等于 1 的特征值会阻止 $B^ku\to0$ 对每个初始向量 $u$ 成立。

5 详解

S1. $\det(C-\lambda I)=(3-\lambda)^2-1=(\lambda-4)(\lambda-2)$。特征向量为对应 4 的 $(1,1)$ 及对应 2 的 $(1,-1)$；两者线性无关，故构成基。

S2. 逆矩阵为 $(16/15)\begin{pmatrix}1&1/4\\1/4&1\end{pmatrix}$，故 $x=(16/5,4/5)$。第一个固定点方程为 $3+(1/4)(4/5)=16/5$，第二个为 $(1/4)(16/5)=4/5$。特征值 $\pm1/4$ 支持收敛轮次的解释。

S3. 选取特征值为 $\lambda$ 的非零特征向量 $u$，则 $\|B^ku\|=|\lambda|^k\|u\|$；当 $|\lambda|\ge1$ 时它不趋零。其他初始向量仍可能衰减；结论讨论的是“每个初始向量”。

总结

特征向量将重复线性规则分解为简单标量递推。对角化使幂和收敛的分摊和更透明。始终区分可求解的代数固定点方程与收敛的实际过程。